개념 104: 수직선 위의 선분의 내분점과 외분점
1. 내분점과 외분점의 좌표
수직선 위의 두 점 \( A(x_1), B(x_2) \)에 대하여,
- 선분 \( AB \)를 \( m:n \) (\( m > 0, n > 0 \))으로 내분하는 점 \( P \)의 좌표
\[ P \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n} \right) \]
- 선분 \( AB \)의 중점 \( M \)의 좌표
\[ M \left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \]
- 선분 \( AB \)를 \( m:n \) (\( m > 0, n > 0, m \neq n \))으로 외분하는 점 \( Q \)의 좌표
\[ Q \left( \frac{m x_2 – n x_1}{m – n} \right) \]
Remark:
- \( m = n \)일 때, 선분 \( AB \)를 \( m:n \)으로 내분하는 점과 선분 \( AB \)를 \( m:n \)으로 외분하는 점은 일반적으로 같은 값이므로, 선분의 내분점을 구할 때는 선분을 읽는 순서에 주의해야 해요.
- \( m:n \)으로 외분하는 경우는 \( m:(-n) \)으로 내분하는 것으로 생각하고 내분점 공식을 적용해도 돼요.
개념확인문제
두 점 \( A(-4), B(8) \)에 대하여 다음을 구하세요.
- 선분 \( AB \)를 \( 3:1 \)로 내분하는 점 \( P \)의 좌표
- 선분 \( AB \)의 중점 \( M \)의 좌표
- 선분 \( AB \)를 \( 5:2 \)로 외분하는 점 \( Q \)의 좌표
풀이:
- \( P(5) \): \( \frac{3 \times 8 + 1 \times (-4)}{3+1} = 5 \)
- \( M(2) \): \( \frac{-4 + 8}{2} = 2 \)
- \( Q(16) \): \( \frac{5 \times 8 – 2 \times (-4)}{5 – 2} = 16 \)
다른 풀이: 비례식을 이용하여 풀 수도 있어요.
- \( AB = |8 – (-4)| = 12 \)이므로
- \( AP = \frac{12 \times 3}{3+1} = 9 \)
- 점 \( P \)의 좌표는 \( -4 + 9 = 5 \)
- \( AQ = \frac{12 \times 5}{5-2} = 20 \)
- 점 \( Q \)의 좌표는 \( -4 + 20 = 16 \)