문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
같은 높이에서 동시에 출발했으니 시각 t에서 두 물체의 높이는 각각 ∫₀ᵗf(t)dt, ∫₀ᵗg(t)dt, 즉 속도곡선 아래 넓이다. 위치를 넓이로 바꿔 읽는 것이 이 유형의 뼈대. 속도가 양수인 구간이라 넓이가 곧 올라간 높이가 된다.
◀ 속도그래프 문제는 ‘넓이=위치’로 번역부터
0≤t≤a에서 그래프상 f(t)≥g(t)이므로 ∫₀ᵃf > ∫₀ᵃg. 즉 t=a에서 A가 B보다 높다. 두 곡선의 위아래를 보고 넓이 대소를 판단하면 높이 비교가 그대로 끝난다.
◀ 위쪽 곡선이 넓이도 크다 → 그 물체가 더 높다
높이 차를 h(t)=∫₀ᵗ(f-g)dt로 놓으면 h′(t)=f(t)-g(t). [0,b]에서 f≥g라 h는 증가, [b,c]에서 f
◀ 두 곡선 교점 = 차 함수의 극값 자리
주어진 조건 ∫₀ᶜf=∫₀ᶜg가 곧 ‘t=c에서 두 높이가 같다’는 말이다. 전체 넓이가 같으니 최종 도달 높이가 같은 것. 조건식을 그림 언어로 바꾸면 ㄷ은 그냥 주어진 사실이 된다.
◀ 적분값이 같다 = 그 시각의 위치가 같다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 속도-시간 그래프에서 ‘위치=넓이’라는 사전을 먼저 챙긴다. 그러면 ㄱ(높이 비교)은 넓이 대소, ㄴ(차 최대)은 차 함수 h=∫(f-g)의 극값, ㄷ(같은 높이)은 주어진 적분 등식으로 각각 깔끔히 번역된다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 ‘차가 최대’를 f나 g가 최대인 지점(t=a 근처)으로 착각하는 실수. 차의 최대는 f=g인 교점 b다.
실수 포인트 ② : 그래프에서 넓이 대소를 눈대중으로만 보고 부호를 반대로 읽는 실수. h′=f-g의 부호를 구간별 표로 정리하면 안전하다.
실수 포인트 ③ : ㄷ에서 ‘속도가 같아진다’와 ‘높이가 같아진다’를 헷갈리는 실수. 조건은 적분값(높이)이 같다는 것이다.
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄴ, ㄷ)