문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
방향 전환 횟수 = v(t)의 부호가 바뀌는 지점의 개수. v=-t(t-1)(t-a)(t-2a)의 근은 t=0,1,a,2a. 이 근들 중 t>0에서 부호가 딱 한 번만 뒤집히도록 a를 맞춰라. 근 개수가 아니라 ‘부호 바뀌는 횟수’가 기준이다.
◀ 방향 전환은 근의 ‘개수’가 아니라 ‘부호변화 횟수’
근이 겹치면(중근) 부호변화가 준다. 짝수 중근=접점=부호 유지, 홀수(단순)근=부호 뒤집힘. 근 0,1,a,2a를 겹치게 만들어 부호변화를 1번으로 줄이는 a는 a=0, a=1/2, a=1 세 가지. (2a=1, a=1, a=1/2 등에서 중근 발생) 하나라도 빠뜨리면 최댓값을 놓친다.
◀ 후보 a는 반드시 0, 1/2, 1 세 개 모두 검토
변화량은 이동거리와 달리 절댓값을 씌우지 않는다. 세 후보를 각각 계산하면 a=0→-12/5, a=1/2→-11/15, a=1→4/15. 최댓값은 a=1일 때 4/15. 사차식은 항별로 침착하게 적분하면 된다.
◀ 변화량=∫v(부호 그대로), 거리=∫|v|(절댓값)
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 ‘방향 한 번’을 t>0에서 v의 부호가 정확히 한 번 바뀌는 조건으로 번역하는 것. v의 근은 0,1,a,2a인데, 이들을 겹치게(중근) 만들어 부호변화 횟수를 조절한다. 짝수 중근에서는 부호가 유지된다는 사실이 열쇠다.
실수 포인트 ① : ‘방향 한 번’을 ‘근이 하나’로 착각하는 실수. 방향 전환은 부호가 바뀌는 지점 수다. 짝수 중근(접점)은 세지 않는다.
실수 포인트 ② : 조건을 만족하는 a를 하나만 찾고 끝내는 실수. a=0, 1/2, 1 세 경우 모두 부호변화가 1번이므로 셋 다 위치변화량을 계산해 비교해야 최댓값이 나온다.
실수 포인트 ③ : ‘위치의 변화량’에 절댓값을 씌워버리는 실수. 변화량은 ∫₀²v dt를 부호 그대로 계산한다. 이동거리와 헷갈리지 마라.
정답 : ③ (a=1일 때 4/15)