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역함수 교점은 y=x 위에 있으므로 방정식 f(x)=g(x)의 근은 f(x)=x의 근과 같다. g의 식(무리함수)을 구할 필요가 전혀 없다. x²/12+x/2+a=x → 양변 ×12 → x²−6x+12a=0. 이 이차방정식의 두 근이 b, 2b다.
◀ f=g는 항상 f=x로 갈아끼워라
x²−6x+12a=0의 두 근이 b, 2b이므로 합 b+2b=6 → b=2, 곱 b·2b=2b²=12a → 2·4=12a → a=⅔. 근을 직접 대입해 풀지 말고, 두 근의 합·곱을 계수와 맞추는 근과 계수의 관계가 훨씬 빠르다.
◀ 두 근의 합=−(x계수), 곱=상수항
y=x 대칭이라 ∫(g−f)dx=2∫₂⁴(x−f)dx. x−f=−x²/12+x/2−⅔는 위로 볼록한 이차식이고 x=2,4에서 0이 된다. 이차·직선 사이 넓이 공식 |계수|/6·(β−α)³=(1/12)/6·(4−2)³=1/9. 따라서 2·1/9=2/9.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 핵심은 방정식 f(x)=g(x)를 f(x)=x로 바꾸는 것이다. 역함수 교점이 y=x 위에 있기 때문이다. x²−6x+12a=0의 두 근 b, 2b에 근과 계수의 관계를 쓰면 b=2, a=⅔. 마지막 적분은 대칭으로 2∫(x−f)로 바꾸고, 이차·직선 넓이 공식 |a|/6·(β−α)³으로 암산하면 (1/12)/6·2³=1/9, 2배 해서 2/9.
실수 포인트 ① : g(x)를 실제 무리함수로 구해 적분하려다 완전히 막히는 실수. f=g를 f=x로 바꾸는 순간 g는 사라진다.
실수 포인트 ② : 근과 계수에서 곱을 b·2b=2b²으로 안 보거나 12a와 맞추는 걸 놓치는 실수. 2b²=12a에 b=2를 넣어 a=⅔.
실수 포인트 ③ : 마지막에 대칭 ×2를 빠뜨려 1/9로 답하는 실수. ∫(g−f)=2∫(x−f)이므로 최종은 2/9다.
정답 : ① (2/9)