2026마플시너지미적분1 1447 [Tough] 곡선과 접선 사이 넓이, 12분의1 공식 즉답

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HINT 1접선은 접점의 기울기 f'(1)과 점 (1,f(1))만 있으면 끝

f'(x)=3x²−2 → f'(1)=1(기울기), f(1)=1−2+3=2(접점 y좌표). 접선 y−2=1·(x−1) → y=x+1. 접선 방정식은 ‘기울기+한 점’의 점-기울기 공식이 정석이다.

◀ 기울기는 미분값, y좌표는 원함수값

HINT 2곡선과 접선의 교점 방정식은 접점을 ‘중근’으로 갖는다

x³−2x+3=x+1 → x³−3x+2=0. 접점 x=1은 반드시 중근이라 (x−1)²로 나눠떨어진다 → (x−1)²(x+2)=0. 나머지 교점 x=−2. ‘접한다=중근’을 알면 삼차식 인수분해가 손쉬워진다.

◀ 접점이 중근이므로 (x−1)²로 나눠라

HINT 3삼차함수−접선 넓이는 12분의1 공식 S=|a|/12·(β−α)⁴

최고차항계수 a=1, 접점 β=1, 다른 교점 α=−2. S=1/12·{1−(−2)}⁴=81/12=27/4. 접선으로 둘러싸인 삼차함수 넓이는 지수가 4제곱, 분모가 12임을 외워두면 적분 없이 즉답.

◀ 이 문제의 출제 포인트

좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.

발상의 출발점 : 접선을 먼저 구하고(기울기 f'(1)+점 (1,f(1))), 곡선−접선의 차를 접점 중근으로 인수분해((x−1)²(x+2))한다. 둘러싸인 구간 −2~1을 적분하거나 12분의1 공식으로 27/4.

실수 포인트 ① : 접선의 기울기를 f(1)로, y좌표를 f'(1)로 뒤바꾸는 실수. 기울기=미분값 f'(1)=1, 점의 y=원함수 f(1)=2다.

실수 포인트 ② : x³−3x+2=0을 일반 삼차방정식처럼 인수정리로 헤매는 실수. 접점 1이 중근이니 (x−1)²로 나누면 바로 끝난다.

실수 포인트 ③ : 12분의1 공식에서 (β−α)를 세제곱·제곱으로 쓰는 실수. 접선과의 넓이는 반드시 4제곱, 분모 12다.

정답 : ② (27/4)

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