문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=4|x|+k는 x>0에서 기울기 4, x<0에서 기울기 −4인 V자 그래프다. k는 이 V자를 통째로 위아래로 평행이동만 시킨다. f는 고정해 두고 g만 k로 내리며(k<0) 교점 수가 어떻게 변하는지를 그림으로 상상하는 게 출발점이다. 교점 개수 문제는 항상 ‘고정된 곡선 위에서 움직이는 직선(또는 V자)’로 세팅하라.
◀ 절댓값 함수는 꺾인 점 기준 좌·우 두 직선으로 분해한다
V자의 오른쪽 가지 y=4x+k가 곡선에 접하면 접점 1개, 반대편 왼쪽 가지에서 교점 1개, 합쳐서 딱 2개가 된다. 접선조건은 곡선의 기울기=직선의 기울기, 즉 f'(x)=4. 3x²+2x−1=4 → 3x²+2x−5=0 → (3x+5)(x−1)=0 → x=1(x>0). 접점 (1, 1)에서 g(1)=4+k=1 → k=−3.
◀ 교점 개수 조건은 f'(x)=기울기 라는 접선 방정식으로 번역
g의 식이 x=0에서 바뀐다(왼쪽 −4x−3, 오른쪽 4x−3). 넓이도 [−1, 0]과 [0, 1]로 나눠 각각 (위−아래)를 적분해야 한다. 한 식으로 몰아서 적분하면 무조건 틀린다. S=∫−10(x³+x²+3x+3)dx+∫01(x³+x²−5x+3)dx=19/12+13/12=8/3.
◀ 절댓값 함수의 넓이는 꺾인 점을 경계로 분할이 원칙
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 절댓값 함수 g(x)=4|x|+k를 원점에서 꺾인 V자로 보고, 고정된 곡선 f 위에서 k로 상하 이동시키며 교점 수를 센다. 교점이 2개로 줄어드는 임계 상황은 한쪽 가지가 곡선에 접할 때다. 접선조건 f'(x)=4로 접점을 찾아 k=−3을 확정한 뒤, x=0을 경계로 넓이를 두 구간으로 나눠 적분한다.
실수 포인트 ① : g를 |x| 그대로 둔 채 한 번에 적분하려는 실수. 반드시 x>0(4x+k)과 x<0(−4x+k)으로 식을 쪼개서 각 구간을 따로 적분하라.
실수 포인트 ② : ‘교점 2개’를 단순히 방정식의 실근 2개로 세워 삼차·절댓값이 뒤섞여 못 푸는 실수. 그래프의 ‘접함’으로 해석해 접선조건으로 바꿔야 길이 열린다.
실수 포인트 ③ : 넓이 적분에서 (위−아래) 순서를 헷갈리는 실수. 구간마다 어느 그래프가 위인지 그림으로 확인하라. S=8/3이므로 30×S=80.
정답 : 80