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f'(x)=3x²−4x−4를 적분하면 f(x)=x³−2x²−4x+C. C는 (나) f(2)=0에서 8−8−8+C=0 → C=8. 도함수 조건 문제의 1단계는 항상 ‘적분 후 점 대입으로 C 결정’이다.
◀ 도함수 조건 문제는 적분+점 대입이 첫 삽
f(x)=x³−2x²−4x+8=(x+2)(x−2)². x=2가 중근이라 x축에 접하고, x=−2에서 뚫고 지난다. 둘러싸인 넓이는 x=−2부터 x=2까지 한 덩어리. 삼차함수는 ‘접점 vs 교점’ 구분이 넓이 셋업의 핵심이다.
◀ 중근=접점, 단근=관통. 넓이 구간이 결정된다
f(x)=(x+2)(x−2)²는 x축(접선 y=0)과 x=2에서 접하고 x=−2에서 만난다. 최고차항계수 a=1, α=−2, β=2. S=1/12·{2−(−2)}⁴=256/12=64/3. 접점이 하나 있으면 12분의1 공식으로 즉답.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f'(x) 조건 → 적분하고 (2,0)으로 C를 정해 f(x)를 확정한다. 인수분해 (x+2)(x−2)²를 얻으면 x=2 접점 덕분에 x축과 −2~2 한 덩어리로 둘러싸인다. 넓이는 홀/짝 분리(홀함수 x³·4x는 대칭구간에서 0)로 64/3, 또는 12분의1 공식으로 즉답.
실수 포인트 ① : C를 안 구하고 바로 넓이를 계산하는 실수. 반드시 f(2)=0으로 C=8부터.
실수 포인트 ② : (x−2)²를 (x−2)로 착각해 x=2를 단순 교점으로 보는 실수. 중근은 접점이라 그 구간에서 부호가 바뀌지 않는다.
실수 포인트 ③ : 넓이인데 정적분값의 부호를 안 챙기는 실수. 이 구간은 f(x)≥0이라 그대로 64/3이지만, 부호 확인은 항상 습관으로.
정답 : ⑤ (64/3)