문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
곡선과 직선의 교점을 S라 하고, A와 B가 공유하는 영역 S를 양쪽에 똑같이 더한다. 그러면 A+S는 계산 쉬운 ‘곡선-직선’ 넓이, B+S는 삼각형이 되고, A−B=(A+S)−(B+S)에서 S가 감쪽같이 사라진다. 넓이 ‘차’ 문제의 첫 수는 항상 ‘공통부분을 더할까?’다.
◀ 넓이 차 문제 = 공통부분 더해 깔끔한 도형 두 개로 갈아끼우기
f(2)=½×4×3=6이므로 P(2, 6). 직선 OP는 원점을 지나고 기울기 6/2=3이니 y=3x. A+S는 이 직선 y=3x와 곡선 y=f(x)가 x=0부터 x=2까지 둘러싼 넓이 ∫02{3x−(½x³+½x²)}dx=8/3. 원점을 지나는 직선은 y=(기울기)x 한 줄로 끝난다.
◀ 원점 지나는 직선은 절편 걱정 없이 기울기 하나로 확정
B+S는 세 점 O, R, Q로 만들어지는 삼각형이다. 밑변은 x축 위의 OR̄=2, 높이는 Q의 y좌표 6/7. Q는 y=3x와 y=−½x+1의 교점이라 x=2/7, y=6/7. 따라서 B+S=½×2×6/7=6/7. 결국 A−B=8/3−6/7=38/21. 도형이 삼각형이면 적분은 사치다.
◀ 밑변이 축 위에 놓이면 적분 대신 삼각형 공식이 압도적으로 빠르다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : A, B를 각각 정적분으로 구하려 들면 곡선과 직선의 교점(무리수일 수도)을 찾아야 해서 계산이 험해진다. 대신 두 넓이가 공유하는 영역 S를 양쪽에 더하는 순간, A+S=(직선 y=3x와 곡선 사이 넓이)=8/3, B+S=(삼각형 ORQ)=6/7이라는 깔끔한 두 도형으로 바뀐다. A−B=(A+S)−(B+S)=8/3−6/7=38/21.
실수 포인트 ① : 직선 OP를 잘못 세우는 실수. P(2, 6)이므로 기울기는 6/2=3, 즉 y=3x다. f(2)=6 계산을 ½×2²×3으로 정확히 하자.
실수 포인트 ② : 어느 쪽이 곡선-직선 넓이(A+S)이고 어느 쪽이 삼각형(B+S)인지 뒤바꾸는 실수. 그림에서 선분 PQ 쪽이 A, 선분 OR 쪽이 B임을 확인하고 배정하라.
실수 포인트 ③ : 삼각형 ORQ의 높이를 Q의 x좌표(2/7)로 착각하는 실수. 밑변을 x축(OR) 위에 두었으니 높이는 반드시 Q의 y좌표 6/7이다.
정답 : ① (38/21)