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넓이 조건 (A넓이)+(C넓이)=(B넓이)를 각각의 정적분으로 옮긴 뒤 부호만 정리하면, 세 조각이 ∫0k{f(x)−직선}dx=0 한 덩어리로 합쳐진다. 교점 x좌표 α, β(무리수)를 구할 필요조차 없다. 넓이 등식은 ‘정적분 등식’으로 번역하는 게 첫 수다.
◀ 넓이 조건 = 정적분 등식, 구간을 이어붙이면 근을 몰라도 된다
A와 C는 곡선이 직선 위(f−직선), B는 곡선이 직선 아래(직선−f)라 부호가 뒤집혀 있다. A+C=B에서 B를 넘기면 ∫0α+∫αβ+∫βk이 모두 (f−직선) 형태로 통일되어 0~k로 이어진다. ‘위−아래’를 놓치면 부호가 어긋나 통합이 안 된다.
◀ 넓이는 항상 ‘위 함수 − 아래 함수’, 부호 통일이 통합의 열쇠
f(x)−직선=3x²−22/3 x+8/3을 0부터 k까지 적분하면 k³−11/3 k²+8/3 k=0. k로 묶고 ⅓k(3k−8)(k−1)=0 → k=0, 1, 8/3. 조건 k>2로 걸러 k=8/3. 삼차방정식은 항상 공통인수 먼저 뽑아라.
◀ 적분 후 나온 삼차식은 공통인수 묶기 → 조건으로 근 선택
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 세 영역 A, B, C를 각각 구하려면 곡선과 직선의 교점 α, β를 실제로 계산해야 하는데 이 값이 지저분하다. 발상을 바꿔 넓이 등식 A+C=B를 정적분 등식으로 옮기고 부호를 통일하면 ∫0k{f(x)−직선}dx=0 하나로 압축된다. 근을 몰라도 k만 남는 방정식이 되어 계산이 극적으로 짧아진다.
실수 포인트 ① : B의 부호를 놓치는 실수. B는 곡선이 직선 아래라 (직선−f) 형태다. 이를 (f−직선)으로 쓰면 부호가 어긋나 통합식이 성립하지 않는다.
실수 포인트 ② : f(x)−직선 정리 실수. 3x²−7x+2−(⅓x−⅔)=3x²−22/3 x+8/3. 상수항과 x계수를 통분할 때 실수가 잦다.
실수 포인트 ③ : k=0, 1, 8/3 세 근 중 k>2 조건을 놓치고 k=1을 답하는 실수. 문제의 x=k(k>2) 조건으로 반드시 k=8/3만 채택하라.
정답 : ④ (k=8/3)