문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
y=x²(최고차 계수 1)과 할선 사이 넓이는 공식 ⅙(b−a)³. 넓이=36이므로 ⅙(b−a)³=36 → (b−a)³=216 → b−a=6. 적분을 직접 하지 말고, 넓이 조건을 곧바로 b−a라는 한 개의 수로 번역하라.
◀ 이차−직선 넓이는 ⅙|계수|(β−α)³, 넓이=한 변의 길이로 환산
P(a, a²), Q(b, b²)를 지나는 할선(접선 아님)의 기울기는 y차/x차 =(b²−a²)/(b−a). 분자를 (b−a)(b+a)로 인수분해하면 약분되어 a+b. 이 인수분해 습관이 뒤의 거리 PQ 계산에서 그대로 위력을 발휘한다.
◀ b²−a²=(b−a)(b+a) 인수분해는 항상 먼저 손이 나가게
PQ=√{(b−a)²+(b²−a²)²}=√{6²+6²(a+b)²} (b−a=6 대입, b²−a²=6(a+b)=6(2a+6)). PQ/a에서 근호 안을 a²로 나누면 36/a²→0, (2+6/a)²→4만 살아남아 √(36×4)=12. ∞/∞ 꼴 극한은 나눗셈이 정석이다.
◀ √ 밖의 a로 나눌 땐 √ 안은 반드시 a²로 나눈다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 넓이 조건을 적분으로 직접 다루지 말고 ⅙(b−a)³=36 공식으로 단번에 b−a=6을 얻는다. 그다음 거리 PQ를 (b−a)와 (a+b)로 인수분해해 두면, b−a=6은 상수로 빠지고 a+b=2a+6만 a에 의존한다. 마지막 극한은 a로 나눠 상수항을 0으로 죽이면 끝.
실수 포인트 ① : 넓이 공식의 계수를 헷갈리는 실수. y=x²−직선의 최고차 계수가 1이므로 넓이는 정확히 ⅙(b−a)³이다.
실수 포인트 ② : 거리 PQ에서 b²−a²을 인수분해하지 않고 그대로 두는 실수. (b−a)(b+a)로 쪼개야 b−a=6이 밖으로 빠지고 극한 처리가 열린다.
실수 포인트 ③ : 극한에서 a로 나눌 때 근호 안은 a²로 나눠야 한다는 걸 놓치는 실수. √ 밖 a ↔ √ 안 a² 대응을 기억하라.
정답 : 12