문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
F'(x)=f(x)이므로 xf(x)=F(x)−x³+2x²+5의 양변을 미분하면 f(x)+xf'(x)=f(x)−3x²+4x. 양쪽 f(x)가 지워지고 xf'(x)=−3x²+4x=x(−3x+4). 다항함수라 x로 나눠 f'(x)=−3x+4.
◀ F가 낀 식 → 양변 미분이 무조건 1번
f(x)=∫(−3x+4)dx=−3/2 x²+4x+C. f(0)=C=1이므로 f(x)=−3/2 x²+4x+1. 뒤 극한에 쓸 f(4)=−3/2·16+16+1=−24+16+1=−7을 미리 계산해두면 마무리가 빠르다.
◀ 구할 값이 뭔지 먼저 보면 계산이 준다
(1/(x−2))∫4x²f(t)dt = [F(x²)−F(4)]/(x−2). x→2면 x²→4다. 분모 x−2에 (x+2)를 곱해 x²−4로 맞추면 [F(x²)−F(4)]/(x²−4)→F'(4)=f(4), 남은 (x+2)→4. 따라서 4f(4)=4·(−7)=−28.
◀ 상한 x²에 맞춰 분모도 x²−4로 통일
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 1310과 동형이다. F가 낀 관계식을 양변 미분해 f(x)를 소거하고, 다항함수 조건으로 x를 나눠 f'(x)를 얻은 뒤 적분·f(0)=1로 f를 완성한다. 마지막 극한은 적분 상한이 x²이므로, 대입점이 x=2가 아니라 x²→4임을 포착해 분모를 x−2에서 x²−4로 맞추는 것이 결정타다. 그러면 F'(4)=f(4)에 (x+2)→4가 곱해져 4f(4)가 된다.
실수 포인트 ① : 상한 x²을 놓치고 대입점을 4가 아닌 2로 잡는 실수. x→2일 때 상한 x²→4이므로 반드시 F'(4)=f(4)를 써야 한다.
실수 포인트 ② : 분모 x−2를 x²−4로 바꿀 때 곱해줘야 할 보정 인수 (x+2)를 빠뜨리는 실수. 이 (x+2)가 x→2에서 4가 되어 답에 4배가 붙는다.
실수 포인트 ③ : f(4) 계산에서 −3/2·16=−24의 계수·부호를 틀리는 실수. f(4)=−24+16+1=−7, 최종 4×(−7)=−28이다.
정답 : ⑤ (−28)