문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
F는 f의 부정적분이라 F'(x)=f(x). xf(x)=F(x)−2x³+2x²의 양변을 미분하면 좌변은 곱의 미분으로 f(x)+xf'(x), 우변은 f(x)−6x²+4x가 된다. 양쪽의 f(x)가 서로 지워지고 xf'(x)=−6x²+4x만 남는다. 이 유형의 1번 동작은 언제나 ‘미분 → f(x) 소거’다.
◀ F가 낀 관계식은 무조건 양변 미분부터
xf'(x)=−6x²+4x. f가 다항함수면 f'도 다항함수라 우변은 반드시 x로 딱 떨어진다. −6x²+4x=x(−6x+4)이므로 f'(x)=−6x+4. 적분하면 f(x)=−3x²+4x+C, 초기조건 f(0)=C=7 → f(x)=−3x²+4x+7.
◀ 우변을 x로 묶으면 상수항은 애초에 0이다
정적분을 F로 바꾸면 [F(1+h)−F(1−h)]/h. 이를 F(1) 기준으로 쪼개면 F(1+h)−F(1) 조각과 −{F(1−h)−F(1)} 조각이 되고 각각 미분계수 정의다. 그래서 F'(1)+F'(1)=2F'(1)=2f(1). f(1)=−3+4+7=8이므로 2×8=16.
◀ 1을 중심으로 좌·우 대칭이면 계수 2가 붙는다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : F가 낀 관계식은 ‘양변 미분 → f(x) 소거’가 첫 동작이다. 그러면 xf'(x)=x의 식만 남고, f가 다항함수라는 조건 덕분에 x로 나눠 f'(x)를 얻는다. 적분과 초기조건 f(0)=7로 f(x)를 완성한 뒤, 마지막 극한은 대칭구간 정적분을 미분계수 정의로 번역하면 2f(1)로 깔끔히 떨어진다.
실수 포인트 ① : 양변 미분에서 좌변 xf(x)를 곱의 미분으로 처리하지 않고 f'(x)만 쓰는 실수. 반드시 f(x)+xf'(x)로 전개해야 우변의 f(x)와 상쇄된다.
실수 포인트 ② : xf'(x)=−6x²+4x를 x로 나눌 때 상수항이 남을까 망설이다 멈추는 실수. f가 다항함수라 우변은 x로 딱 떨어져 f'(x)=−6x+4가 된다.
실수 포인트 ③ : 마지막 극한을 그냥 f(1)로만 답하는 실수. 적분구간이 1−h부터 1+h까지 폭이 2h라서 미분계수가 두 번 나와 2f(1)=16이 정답이다.
정답 : ⑤ (16)