문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
g(x)=x²∫₀ˣf(t)dt − ∫₀ˣt²f(t)dt를 미분하면, 앞항은 곱의 미분법으로 2x∫₀ˣf(t)dt + x²f(x), 뒷항은 x²f(x)가 되어 x²f(x)끼리 통째로 상쇄된다. 남는 건 g′(x)=2x∫₀ˣf(t)dt 하나뿐. f가 3차라 F=∫f 그래프를 직접 그리기 어려우니, 미분해서 식을 먼저 깔끔하게 만드는 게 출발점이다.
◀ 겹쳐 보이는 두 적분항은 미분하면 서로 지운다
F(x)=∫₀ˣf(t)dt라 하면 g′(x)=2x·F(x). x=0 근처에서 F(x)≈f(0)·x=a·x(F(0)=0)이므로 g′≈2x·(ax)=2ax² → 양쪽 다 부호 안 바뀜(x축에 접). 즉 x=0은 극값이 아니다. 진짜 극값은 F(x)=0의 실근에서만 나온다는 걸 먼저 못박아라.
◀ x=0은 접점, 극값 후보에서 지워라
f는 −1, 1, a에서 x축을 지나는 3차함수. F=∫f의 부호가 여러 번 바뀌면 극값이 여러 개가 된다. x>1 쪽에서 F가 다시 0을 만들어 부호가 또 바뀌지 않으려면 ∫₀ᵃf(x)dx ≥ 0이어야 한다. '극값 하나'라는 말을 넓이(정적분) 부등식으로 번역하는 순간 계산 문제로 바뀐다.
◀ 극값 개수 조건은 넓이 조건으로 번역하라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 정적분으로 정의된 함수 문제는 먼저 미분해서 g′(x)를 최대한 깔끔하게 만드는 게 1번이다. 곱의 미분법을 쓰면 x²f(x)항이 상쇄되어 g′(x)=2x∫₀ˣf(t)dt만 남는다. 이제 극값 개수는 2x·F(x)의 부호변화 횟수로 결정된다. x=0은 x²꼴로 접해 극값이 아니므로, 극값을 만드는 건 F(x)=∫f=0의 실근뿐이다. '극값 오직 하나'가 되려면 x>1에서 F가 다시 0을 건드리지 않아야 하고, 이는 ∫₀ᵃf(x)dx ≥ 0이라는 넓이 부등식과 같다.
실수 포인트 ① : g′을 구할 때 x²f(x)가 상쇄되는 걸 못 보고 f(x)를 그대로 끌고 가 식을 복잡하게 만드는 실수. 2x∫₀ˣf(t)dt까지 정리해야 문제가 열린다.
실수 포인트 ② : x=0을 극값으로 세어 '극값 하나' 조건을 잘못 거는 실수. x=0은 g′이 x²꼴이라 부호가 안 바뀌는 접점이다.
실수 포인트 ③ : ∫₀ᵃf(t)dt = −a⁴/12 + a²/2 ≥ 0을 정리할 때 a²(a²−6)≤0에서 부호를 뒤집는 실수. a²≤6 → a≤√6, a>1과 합쳐 a의 최댓값은 √6이다.
정답 : ④ (a의 최댓값 = √6)