문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
F′(x)=f(x)이므로 F의 극값은 f가 부호를 바꾸는 자리에서만 생긴다. F가 극값을 오직 하나 가지려면, 삼차함수 f(x)가 x축을 뚫으며 부호를 바꾸는 횟수가 정확히 1번이면 된다. 즉 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 갖거나 한 실근과 중근을 가지면 된다.
◀ ‘극값 개수’ 문제는 곧 ‘도함수의 부호변화 횟수’ 문제다
f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)이라 x=−1에서 극대, x=1에서 극소. 극댓값 f(−1)=2+a, 극솟값 f(1)=−2+a. 삼차함수가 x축을 딱 한 번 지나거나 접할 조건은 극댓값과 극솟값의 곱이 0 이상, 즉 (2+a)(−2+a)≥0. 이 부등식 한 줄이 조건 전체를 담는다.
◀ 극댓값·극솟값을 곱해 부호만 보면 실근 개수가 나온다
(2+a)(−2+a)≥0 → (a−2)(a+2)≥0 → a≤−2 또는 a≥2. 여기서 문제는 양수 a만 원하므로 a≥2만 살아남는다. 따라서 최솟값은 2. 부등식으로 범위를 다 뽑은 다음 '양수'·'정수' 같은 제한을 맨 끝에 걸러야 함정을 피한다.
◀ 범위 먼저 → 양수/정수 조건은 맨 끝에 적용
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : '적분으로 정의된 F의 극값 개수'는 미분해서 F′(x)=f(x)로 돌려놓는 순간 '삼차함수 f의 부호변화 횟수' 문제로 바뀐다. 극값이 딱 하나 = f가 x축을 한 번만 통과. 그 조건이 (극댓값)(극솟값)≥0. 이 한 줄로 끝난다.
실수 포인트 ① : F를 직접 적분해 4차식으로 손계산하려는 실수. F는 미분해서 f로 보면 되고, 4차식을 만들 필요가 전혀 없다.
실수 포인트 ② : 부등호 방향 실수. '한 번 만나거나 접함'은 ≥0(접하는 경우 포함), '서로 다른 세 실근'은 <0. 문장 '오직 하나'에 맞춰 등호 포함 여부를 정확히 하라.
실수 포인트 ③ : a≤−2 또는 a≥2까지 구하고 '양수'를 빼먹어 a=−2를 답하는 실수. 양수 조건으로 a≥2만 남기고 최솟값은 2.
정답 : ② (a=2)