문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
2x²f(x)=3∫0x(x−t){f(x)+f(t)}dt에서 f(x)는 t에 대한 적분에서 상수다. 그래서 3∫0x(x−t)f(x)dt=3f(x)∫0x(x−t)dt=3f(x)·(x²/2)로 통째로 빠져나온다. t로 적분할 땐 x가 든 항을 전부 밖으로 꺼내는 게 첫 수다.
◀ t적분에서 x는 상수 — f(x)는 무조건 밖으로
정리하면 x²f(x)=6∫0x(x−t)f(t)dt. 이걸 x∫f(t)dt − ∫t·f(t)dt 꼴로 쪼개 x를 밖으로 뺀 뒤 양변을 x로 미분한다. (x−t)를 그대로 두고 미분하면 꼬이고, x가 적분 밖으로 나와야 미분 대상이 명확해진다.
◀ ∫(x−t)f(t)dt = x∫f dt − ∫t·f dt로 분해 후 미분
미분한 식 2x·f(x)+x²f′(x)=6∫0xf(t)dt에서 f(x)=axⁿ+…로 놓고 최고차항 계수만 비교하면 a(2+n)=6a/(n+1). 정리하면 (n+1)(n+2)=6 → n=1. 여기에 f′(2)=4를 쓰면 f(x)=4x, 따라서 f(6)=24.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 적분구간의 위끝 x와 피적분함수 속 x·t가 섞인 전형적 ‘정적분을 포함한 등식’이다. 열쇠는 t적분에서 f(x)가 상수라는 사실 — 이를 적분 밖으로 빼면 좌변의 (3/2)x²f(x)와 상쇄되어 x²f(x)=6∫0x(x−t)f(t)dt만 남는다. 이어 x를 적분 밖으로 전개해 미분하면 f의 차수와 계수를 결정하는 방정식이 나온다.
실수 포인트 ① : t적분에서 f(x)를 상수로 못 빼고 f(x)+f(t)를 통째로 적분 안에 남겨두는 실수. f(x)는 적분변수 t와 무관하니 반드시 밖으로.
실수 포인트 ② : (x−t)를 전개하지 않고 그대로 양변 미분하려다 라이프니츠 규칙에서 엉키는 실수. x∫f dt − ∫t·f dt로 먼저 쪼개라.
실수 포인트 ③ : 차수 방정식 (n+1)(n+2)=6에서 n=1만 취하고 f′(2)=4로 계수를 확정하는 단계를 건너뛰는 실수. f(x)=4x여야 f(6)=24가 된다.
정답 : 24