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조건 (가)의 등식은 우함수의 정적분 성질 그 자체다. 이 식이 모든 α에서 성립한다는 건 f(x)가 우함수라는 뜻이고, 우함수 다항식은 짝수차항과 상수항만 남는다. 따라서 홀수차항 계수 a=0, c=0이 즉시 결정된다. 적분하지 말고 ‘대칭’으로 번역하라.
◀ 대칭 조건은 홀수차항 계수를 0으로 죽인다
f(x)=x4+bx2+10 → f′(x)=4x3+2bx, f′(1)=4+2b. 조건 (나) −6<4+2b<−2를 풀면 −5<b<−3. 여기서 핵심은 b가 정수라는 단서. 이 열린구간의 정수는 b=−4 하나뿐이다. ‘부등식+정수’는 언제나 값을 한 점으로 압축하는 장치다.
◀ ‘정수’ 두 글자가 범위를 한 점으로 좁힌다
f(x)=x4−4x2+10은 우함수라 x=−√2, x=√2에서 극솟값이 같다. 굳이 √2를 대입해 무리수 계산을 하지 말고 x2=2를 통째로 넣어라: (x2)2−4(x2)+10 = 4−8+10 = 6. 대칭성 덕에 극솟값 계산은 한 번이면 끝난다.
◀ x²=2를 통째로 대입하면 무리수 계산이 사라진다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가)의 정적분 등식은 계산 대상이 아니라 ‘우함수 선언’이다. ∫−αα=2∫0α는 우함수의 정적분 성질 그 자체이므로 홀수차항 계수 a=c=0. 남은 f(x)=x4+bx2+10에서 조건 (나)의 f′(1) 범위와 ‘정수’ 단서로 b=−4를 유일하게 확정하고, 우함수의 극솟값을 x2=2 대입으로 한 번에 구한다.
실수 포인트 ① : (가)를 실제 적분으로 계산하려다 시간을 날리는 실수. 이 등식은 ‘풀어라’가 아니라 ‘우함수다’라고 읽는 신호다.
실수 포인트 ② : −5<b<−3에서 b=−4를 놓치거나, 경계값 b=−5·−3을 포함시키는 실수. 부등호가 <인 열린구간+정수이므로 답은 b=−4 하나뿐이다.
실수 포인트 ③ : 극솟값을 x=±√2 각각 √ 계산으로 구하다 부호·제곱에서 꼬이는 실수. x²=2를 통째로 대입해 4−8+10=6으로 처리하라. 극댓값 f(0)=10과 헷갈리지 말 것.
정답 : 6