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f(x)=x³−3x−1은 f′(x)=3(x−1)(x+1)로 극대 f(−1)=1, 극소 f(1)=−3. |f|의 그래프는 f의 음수부를 위로 접어 |−3|=3이 새 봉우리가 된다. 닫힌구간 최댓값 후보는 극대점 |1|, 접힌 극소 |−3|=3, 그리고 구간의 끝점뿐이다. 후보만 비교하면 끝난다.
◀ 닫힌구간 최대 후보 = 극점의 |값| + 끝점의 |값|
구간 [−1,t]에서 왼끝 |f(−1)|=1은 고정. t가 −1~0을 지날 땐 |f|가 아직 1을 못 넘어(|f(0)|=1) g(t)=1. t가 0을 넘어 1로 가면 f(t)가 −3까지 깊어져 |f(t)|=−f(t)가 1을 추월 → g(t)=−t³+3t+1. ‘언제 승자가 바뀌나(t=0)’를 찾는 게 구간 나누기의 전부다.
◀ −1≤t≤0은 좌끝 1, 0≤t≤1은 오른쪽 |f(t)|가 최대
∫−11g(t)dt = ∫−101 dt + ∫01(−t³+3t+1)dt = 1 + (−1/4+3/2+1) = 1 + 9/4 = 13/4. 조각으로 정의된 함수의 정적분은 구간별로 쪼개 각각 적분한 뒤 더한다. p=4, q=13, 서로소이므로 p+q=17.
◀ 조각함수 적분 = 구간별 적분값의 합
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |f(x)|의 닫힌구간 최댓값은 극점의 절댓값과 끝점의 절댓값 중에서만 나온다. y=|f|를 그려 후보를 눈으로 잡고, t를 −1에서 1로 밀며 어느 후보가 최댓값이 되는지 지켜보면 g(t)의 식이 갈리는 지점(t=0)이 보인다.
실수 포인트 ① : −1≤t≤0 구간에서 g(t)를 |f(t)|로 잡는 실수. 이 구간에선 |f(t)|가 아직 1을 못 넘어 왼끝 |f(−1)|=1이 최댓값이다. g(t)=1(상수)로 둬야 한다.
실수 포인트 ② : 0≤t≤1에서 |f(t)|=f(t)로 절댓값을 잘못 벗기는 실수. 이 구간 f(t)는 음수라 |f(t)|=−f(t)=−t³+3t+1이다. 부호를 놓치면 적분값이 통째로 틀어진다.
실수 포인트 ③ : 조각함수를 한 번에 통으로 적분하려는 실수. 반드시 [−1,0]과 [0,1]을 나눠 각각 적분해 더한다. 마지막에 p,q가 서로소인지 확인 — 13/4는 이미 기약분수라 p+q=17.
정답 : 17 (p=4, q=13)