문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
조건 (나) limx→2 f(x)/(x−2)=1에서 분모 (x−2)→0인데 극한값이 유한(1)이다. 이러면 0/0 꼴이 되어야만 유한값이 나오므로 분자도 반드시 0으로 가야 한다. 즉 f(2)=0. 이게 첫 번째 방정식 8a+2b+c=0을 만든다.
◀ 유한값 극한 + 분모→0 = ‘분자→0’ 강제조건
f(2)=0인 순간 limx→2 f(x)/(x−2)=limx→2 [f(x)−f(2)]/(x−2)=f′(2)로 읽힌다. 문제의 ‘=1’은 사실 f′(2)=1이라는 뜻. f′(x)=3ax²+b이므로 f′(2)=12a+b=1이 두 번째 방정식이다. 조건 (나) 하나에서 식을 두 개 뽑아낸다.
◀ (분수꼴 극한)=(미분계수 정의)로 번역하라
정적분 조건 (가)에서 4a+2b+2c=−1 한 개, (나)의 f(2)=0에서 한 개, f′(2)=1에서 한 개 — 딱 세 식이 모여 연립이 완결된다. 풀면 a=1/12, b=0, c=−2/3. 따라서 a+b+c=1/12−2/3=−7/12. 조건 하나당 식 하나를 대응시키는 습관이 핵심.
◀ 이 문제의 출제 포인트: 한 극한에서 정보 두 개 추출
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (나) 하나가 정보를 두 개 품고 있다. 분모→0인데 극한이 유한 → f(2)=0이 하나, 그리고 그 극한 자체가 미분계수 정의라 f′(2)=1이 또 하나. 여기에 정적분 조건 (가)를 더하면 미지수 a,b,c에 대한 식이 정확히 세 개가 되어 연립으로 끝난다.
실수 포인트 ① : f(2)=0만 쓰고 f′(2)=1을 빠뜨리는 실수. 그러면 식이 하나 부족해 a,b,c를 못 구한다. 분수꼴 극한은 항상 미분계수까지 뽑아내라.
실수 포인트 ② : ∫02 ax³dx=[¼ax⁴]02=¼a·16=4a인데 계수를 2a나 8a로 잘못 잡는 실수. 4제곱과 1/4을 정확히.
실수 포인트 ③ : 마지막 통분 실수. a+b+c=1/12+0−2/3=1/12−8/12=−7/12. −8/12로 통분하는 걸 놓쳐 −1/12 등으로 잘못 답하기 쉽다.
정답 : ② (a+b+c=−7/12)