2026마플시너지미적분1 1146 [Tough] 극한으로 최고차 확정, 이중 정적분으로 f(2) 결정

문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다

HINT 1x→∞ 분수 극한이 상수면 분자·분모는 차수가 같다 — 극한값=최고차 계수비

조건 (가) lim_x→∞ f(x)/(2x²+3x+1)=1은 유한상수(0이 아님)다. 이러면 분자 f(x)의 차수가 분모와 같은 이차여야 하고, 극한값 1=(f의 최고차)/(분모 최고차 2)이므로 f의 최고차항 계수는 2. 그래서 f(x)=2x²+ax+b로 놓는다.

◀ 유한·비0 극한 → 차수 일치 + 계수비로 최고차 확정

HINT 2대칭구간 [−1,1]에서는 기함수(홀수차)를 먼저 지워라

∫₋₁¹(2x²+ax+b)dx에서 홀수차항 ax는 기함수라 대칭구간 적분이 0. 짝수차만 살아남아 4/3+2b=2 → b=1/3이 바로 튀어나온다. 대칭구간을 보면 일일이 대입하지 말고 홀수차부터 소거하는 게 정석.

◀ 대칭구간 정적분: 기함수는 0, 우함수만 2배

HINT 3정적분 두 개 = 미지수 두 개(a,b) 잡는 연립방정식

미지수는 a,b 둘. 조건 (나)가 정적분을 두 개 준다. 첫 식으로 b=1/3, 둘째 식 ∫₁³=52/3+4a+2b=2에 b를 넣으면 a=−4. 즉 f(x)=2x²−4x+1/3이고 f(2)=8−8+1/3=1/3. 조건 개수와 미지수 개수를 맞춰 보라.

◀ 이 문제의 출제 포인트: 극한으로 꼴 확정 → 적분으로 계수

좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.

발상의 출발점 : 조건 (가)로 f를 최고차 계수 2인 이차함수로 못 박으면 미지수가 a,b 둘로 줄어든다. 대칭구간 [−1,1] 적분에서 홀수차 ax가 사라져 b가 먼저 나오고, 이어 [1,3] 적분으로 a를 잡는다. 순서를 지키면 계산량이 절반이다.

실수 포인트 ① : (가)를 보고 f를 삼차 이상으로 놓는 실수. 극한이 유한상수(0 아님)면 분자·분모 차수는 반드시 같다 → f는 이차.

실수 포인트 ② : 최고차 계수를 1로 놓는 실수. 극한값 1=(f의 최고차)/2이므로 f의 최고차항 계수는 2이다.

실수 포인트 ③ : ∫₋₁¹에서 홀수차 ax를 굳이 대입하다 부호가 꼬이는 실수. 기함수는 0으로 통째 소거하면 4/3+2b=2 → b=1/3로 깔끔하다.

정답 : ③ (f(2)=1/3)

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