문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
거리 = |x₁−x₂| = |t³−(15/2)t²+12t+10|. 절댓값 안을 f(t)=t³−(15/2)t²+12t+10으로 한 덩어리로 놓아라. 거리·간격 문제는 두 위치를 따로 보지 말고 ‘차’를 새 함수로 만드는 순간 평범한 삼차함수 최소 문제로 바뀐다.
◀ 거리·간격 문제는 무조건 ‘차’를 함수로 만드는 게 1수
증감표로 보면 극솟값 f(4)=2>0, 시작값 f(0)=10>0이라 t≥0에서 f(t)는 늘 양수. 그러면 |f(t)|와 f(t)의 최소 위치가 같아져 절댓값을 떼고 f(t)의 극소만 찾으면 된다. 만약 안이 부호를 바꾼다면 절댓값 꼭짓점(f=0)도 후보지만, 이 문제는 아니다.
◀ 절댓값 안이 항상 +면 그냥 벗기고 극소만 보면 끝
f'(t)=3t²−15t+12=3(t−1)(t−4). t=1은 극대, t=4가 극소=거리 최소. 여기서 묻는 건 P의 가속도다. P의 속도 v₁=3t²−10t+10, 가속도 a₁=6t−10 → a₁(4)=24−10=14. 최소 시각을 f나 거리에 넣지 말고 반드시 x₁을 미분한 가속도에 넣어라.
◀ t=4를 대입할 곳은 f가 아니라 x₁의 이계도함수
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 점 사이 거리 최소 문제의 정석은 거리=|x₁−x₂|를 f(t)로 묶고, 절댓값 안 f(t)의 부호를 증감표로 확인하는 것이다. 이 문제는 t≥0에서 f(t)>0이라 절댓값을 벗겨 f(t)의 극소(t=4)가 곧 거리 최소가 된다. 마지막에 구하는 대상이 점 P의 가속도임을 놓치지 않는 게 관건이다.
실수 포인트 ① : 거리 최소를 x₁의 최소나 x₂의 최소로 착각하는 실수. 최소가 되는 건 두 위치의 차 f(t)이지 개별 위치가 아니다.
실수 포인트 ② : f'(t)=3(t−1)(t−4)에서 t=1(극대)을 최소로 잘못 고르는 실수. 증감표에서 부호 (+ 0 − 0 +)를 그려 극대·극소를 구분하고, t≥0 시작값 f(0)=10과 비교하면 t=4가 최소다.
실수 포인트 ③ : t=4를 f(t)나 거리식에 대입해 2를 답하는 실수. 문제는 점 P의 가속도를 물었으므로 a₁(t)=6t−10에 넣어 a₁(4)=14가 정답이다.
정답 : ③ (14)