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공이 경사면에 ‘닿는’ 순간은 원(공)이 직선(경사면)에 접하는 순간이다. 즉 공의 중심에서 경사면까지의 수직거리가 정확히 반지름 0.2가 되는 때. 물리 그림처럼 보여도 실제 조건은 ‘중심과 직선 사이 거리 = 반지름’이라는 기하 한 줄로 번역된다.
◀ 물체가 면에 닿는 순간 = 중심에서 면까지 거리 = 반지름
중심에서 경사면까지 거리(=0.2)와 중심~바닥 높이 a는 경사각이 낀 직각삼각형으로 이어진다. a·sin30°=0.2 → a=0.4. 60° 경사면이지만 삼각형에서 실제 쓰는 각은 여각 30°다. 각을 어디에 넣을지는 ‘반지름이 빗변에 놓이는지 높이에 놓이는지’를 그림으로 확인해 정한다.
◀ 접하는 순간의 중심 높이는 h=0.4로 확정된다
중심 높이 h(t)=0.4: 20−4.9t²=0.4 → 4.9t²=19.6 → t²=4 → t=2(t>0). 속도는 위치 h를 미분한 v=dh/dt=−9.8t이고 v(2)=−19.6. 부호(−)는 아래로 내려가는 방향을 뜻하니 그대로 답에 살려 −19.6으로 쓴다.
◀ 낙하 속도는 음수 부호까지 그대로 정답에 반영
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 자유낙하 공이 경사면과 ‘충돌’하는 순간을 원이 직선에 접하는 기하 조건으로 번역하는 게 핵심이다. 중심에서 경사면까지 거리=반지름 0.2 → 경사각 직각삼각형으로 중심 높이 a=0.4를 얻고, h(t)=0.4에서 t=2를 구한 뒤 v=h'(t)=−9.8t에 대입한다.
실수 포인트 ① : 공의 맨 아랫점이 경사면에 닿는다고 보고 높이를 0으로 세우는 실수. 닿는 건 접점이고, 조건은 중심~경사면 거리=반지름이라 중심 높이는 0이 아니라 0.4다.
실수 포인트 ② : 삼각형에서 각을 60°로 넣어 a·sin60°=0.2로 잘못 세우는 실수. 반지름이 놓이는 변과 각의 관계를 그림으로 확인하면 a·sin30°=0.2가 맞고 a=0.4다.
실수 포인트 ③ : v(2)=19.6처럼 부호를 떼고 답하는 실수. 낙하는 아래 방향이라 속도가 음수이고, 정답은 −19.6이다.
정답 : ① (−19.6)