문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
임의의 서로 다른 x₁, x₂에서 f(x₁)>g(x₂)라는 건, x₁·x₂가 각자 따로 움직인다는 뜻이다. f가 아무리 작아질 때조차 g가 아무리 커질 때보다 커야 하므로, 조건은 (f의 최솟값) > (g의 최댓값) 하나로 압축된다. 변수 두 개짜리 부등식은 이 한 줄로 갈아끼우는 게 정석.
◀ 두 변수 독립 → min(왼쪽) > max(오른쪽)
f(x)=3x⁴−4x³이면 f′(x)=12x²(x−1). x=0은 부호가 안 바뀌는 변곡점이라 극값이 아니고, 진짜 극소는 x=1 하나. f(1)=−1이 최솟값이다. g(x)=−2x²+12x+k=−2(x−3)²+18+k라 x=3에서 최댓값 18+k. 사차식은 미분, 이차식은 완전제곱—도구를 나눠 써라.
◀ x=0에서 극값이라 착각하기 쉽다, 실제론 변곡점
조건은 (f의 최솟값) > (g의 최댓값), 즉 −1 > 18+k. 정리하면 k < −19. 원래 부등호가 등호 없는 >였으니 결과도 등호 없는 k < −19(② 정답)다. 여기서 k≤−19로 등호를 붙이면 f의 최소=g의 최대가 되어 f(x₁)>g(x₂)가 깨진다.
◀ 부등호에 등호가 없으면 최종 답에도 등호를 붙이지 마라
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : “임의의 두 실수 x₁, x₂”에서 x₁과 x₂가 독립이라는 걸 캐치하는 순간 끝난다. 왼쪽이 가장 작을 때(f의 최솟값)조차 오른쪽이 가장 클 때(g의 최댓값)를 이겨야 하므로, min > max 한 줄로 문제가 끝난다.
실수 포인트 ① : f(x₁)>g(x₂)를 f의 최댓값 vs g의 최솟값처럼 방향을 거꾸로 잡는 실수. 이기는 쪽이 지는 쪽을 눌러야 하니, f는 최솟값 / g는 최댓값이 맞다.
실수 포인트 ② : f′(x)=12x²(x−1)에서 x=0을 극점으로 잡는 실수. x=0 앞뒤로 f′의 부호가 (−)→(−)로 안 바뀌므로 극값이 아니다. 극소는 x=1 하나뿐.
실수 포인트 ③ : −1>18+k를 풀며 등호를 붙여 k≤−19로 답하는 실수. 엄격 부등호는 끝까지 엄격하게 → k<−19.
정답 : ② (k<−19)