문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
위아래가 −k, k로 대칭이라는 게 핵심이다. 모든 x에서 −k≤f(x)≤k라는 건 결국 |f(x)|≤k와 같은 말이고, 이건 k ≥ (구간에서 f의 최댓값의 절댓값과 최솟값의 절댓값 중 더 큰 값)으로 번역된다. 최댓값 12, 최솟값 −15면 |−15|=15가 더 크니 k≥15.
◀ 대칭 상수 하나로 위아래를 동시에 잡을 땐 절댓값이 큰 쪽이 이긴다
f(x)=2x³+3x²−12x−8에서 f′(x)=6(x+2)(x−1)이라 임계점은 x=−2, x=1. 구간이 −2≤x≤2니까 후보는 x=−2, 1, 2 딱 세 개. 각각 넣으면 f(−2)=12, f(1)=−15, f(2)=−4. 최댓값 12(끝점 겸 극대), 최솟값 −15(내부 극소). 폐구간에선 극값만 보지 말고 끝점을 반드시 같이 비교하라.
◀ 임계점만 보고 끝점을 빠뜨리면 최댓값 12를 놓친다
−k≤f(x)는 −k≤(최솟값)=−15 → k≥15. f(x)≤k는 (최댓값)=12≤k → k≥12. 두 조건을 동시에 만족하려면 더 빡센 k≥15가 이긴다. 양수 k의 최솟값은 15. 두 부등식 중 하나만 보고 12라고 답하면 함정에 빠진다.
◀ 동시에 성립 = 더 강한 조건이 최종 답을 결정한다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : −k와 k가 대칭이라는 점을 보는 순간, “모든 x에서 −k≤f(x)≤k”는 곧 k ≥ max|f(x)|로 압축된다. 그래서 할 일은 폐구간 [−2, 2]에서 f의 최댓값과 최솟값을 구해 절댓값이 큰 쪽을 고르는 것뿐이다.
실수 포인트 ① : 임계점 x=−2, x=1만 계산하고 끝점 x=2를 빼먹는 실수. 폐구간 최대최소는 항상 끝점까지 후보에 넣어라. 여기선 x=−2가 마침 임계점이자 끝점이라 더 헷갈린다.
실수 포인트 ② : f(x)≤k에서 k≥12만 보고 정답을 12로 적는 실수. 아래쪽 −k≤−15가 주는 k≥15가 더 강하다. 두 조건의 교집합을 잊지 마라.
실수 포인트 ③ : −k≤−15의 부호를 뒤집을 때 방향을 안 바꿔 k≤15로 쓰는 실수. 음수로 나누면(양변에 −1) 부등호가 뒤집힌다 → k≥15.
정답 : 15