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곡선 밖 점에서 그은 접선 개수 문제는 3단계 번역이다. ① 접점을 (t, t³−t)로 잡고, ② 접선이 점 (1, a)를 지나게 대입 → a=−2t³+3t²−1, ③ 이 식을 t에 대한 삼차방정식으로 보면 접선 개수 f(a)는 방정식 −2t³+3t²−1=a의 서로 다른 실근 t의 개수와 같다. ‘접선을 센다’를 ‘삼차방정식 실근을 센다’로 바꾸는 게 이 유형의 심장이다.
◀ 접선 하나 = 접점 t 하나 = 실근 t 하나
h(t)=−2t³+3t²−1, h'(t)=−6t(t−1)이라 극솟값 h(0)=−1, 극댓값 h(1)=0. 수평선 y=a를 위아래로 움직이며 교점 수를 세면 f(a)= a<−1:1 / a=−1:2 / −1<a<0:3 / a=0:2 / a>0:1. 즉 a=−1과 a=0에서 값이 뚝 끊기는 불연속점이 생긴다. 극값의 높이가 곧 f(a)의 불연속점 위치다.
◀ 극값 높이(−1, 0)가 f(a)의 불연속점이다
f(x)g(x)가 모든 실수에서 연속이려면, f가 끊기는 x=−1, x=0에서 g가 그 점프를 0으로 눌러야 한다 → g(−1)=0, g(0)=0. 최고차항 계수가 1인 이차함수가 두 근 −1, 0을 가지면 인수분해로 g(x)=(x+1)x 즉시 확정. ‘불연속 함수 × 연속 함수’가 연속이 되는 유일한 길은 불연속점에서 상대 함수가 0이 되는 것이다.
◀ ‘A 불연속 × B 연속이 연속’ = 불연속점에서 B=0
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 곡선 밖 점에서 그은 접선 개수는 접점 t의 개수와 같고, 이는 접점을 (1, a)에 대입해 얻은 삼차방정식 −2t³+3t²−1=a의 실근 개수로 번역된다. 이 개수가 곧 f(a)이고, 극값 지점 a=−1, a=0에서 값이 점프하는 계단함수가 된다. f(x)g(x)가 실수 전체에서 연속이려면 f가 불연속인 x=−1, x=0에서 g(x)=0이어야 하므로, 최고차 1 이차함수는 g(x)=(x+1)x로 확정된다.
실수 포인트 ① : (1, a)를 곡선 위 점으로 착각해 그냥 미분해 접선을 구하는 실수. (1, a)는 곡선 밖 점이라 접점 t를 미지수로 새로 잡아야 한다.
실수 포인트 ② : f(a)를 구간별로 나눌 때 극값 지점의 개수를 잘못 세는 실수. 경계 a=−1, a=0에서는 접선이 겹쳐 개수가 2개다.
실수 포인트 ③ : 연속 조건을 g(−1)≠0으로 거꾸로 보는 실수. 점프를 죽이려면 g가 0이어야 한다.
실수 포인트 ④ : g(x)에 최고차 1을 잊고 상수배를 붙이는 실수. g(x)=(x+1)x 그대로다. f(−1)=2, g(4)=(4+1)×4=20이므로 f(−1)+g(4)=2+20=22.
정답 : 22