문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
P′(t)=0의 3차식 t3−9t2+24t−16. 상수항 16의 약수(±1, ±2, ±4, ±8, ±16)를 순서대로 대입해보면 t=1에서 0이 된다. 그러니 (t−1)이 인수. 조립제법으로 나누면 t2−8t+16=(t−4)2이라 P′(t)=−4(t−1)(t−4)2. 도함수가 3차 이상이면 이 방법이 무조건 먼저다.
◀ 상수항 약수 대입 → 근 하나 찾고 조립제법
P′(t)=−4(t−1)(t−4)2에서 (t−4)2≥0은 늘 0 이상이라 부호를 못 바꾼다. 즉 P′의 부호는 오직 −(t−1)이 좌우한다. t<1이면 증가, t>1이면 감소. t=4에서 P′=0이지만 부호가 안 바뀌므로 극값이 아니다. ‘중근(제곱근)에서는 극값이 안 생긴다’가 이 문제 최대 함정.
◀ P′=0이라고 다 극값이 아니다, 부호가 바뀌어야 극값
실생활 최대·최소는 정의역이 닫힌구간 [0, 4]. 최댓값 후보는 극댓값 P(1)=27과 양끝 P(0)=0, P(4)=0 세 개뿐. 이 중 가장 큰 27이 최댓값이고, 그때 시점 t=1이 곧 a. 극값만 구하고 끝내지 말고 양끝값도 반드시 대입하는 게 닫힌구간 최댓값의 정석이다.
◀ 닫힌구간에서는 극값과 경계값을 한 표에 놓고 비교
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 실생활 최대·최소는 결국 주어진 함수를 닫힌구간에서 최대화하는 미분 문제로 번역된다. P(t)를 미분해 P′(t)=0을 풀고 증감표를 그리면 끝. 관건은 두 가지다 — 3차 도함수의 인수분해, 그리고 (t−4)2이라는 제곱인수가 극값을 만들지 않는다는 것. 이 두 개만 넘으면 나머지는 산수다.
실수 포인트 ① : t3−9t2+24t−16을 인수분해 못 해 막히는 실수. 상수항 16의 약수를 대입해 t=1을 찾는 게 출발점이다.
실수 포인트 ② : t=1, t=4 둘 다 P′=0이라고 둘 다 극값으로 착각하는 실수. (t−4)2은 제곱이라 부호가 안 바뀌어 t=4는 극값이 아니다. 이걸 놓치면 최댓값 위치를 오판한다.
실수 포인트 ③ : 극댓값 27만 구하고 양끝값 확인을 건너뛰는 실수. 다행히 P(0)=P(4)=0이라 27이 최댓값이 맞지만, 닫힌구간에서는 항상 양끝을 대입해 확인하는 습관을 들여라.
실수 포인트 ④ : a와 M을 뒤섞는 실수. a=최댓값이 되는 시점(t=1)=1, M=최댓값=27이므로 a+M=1+27=28이다.
정답 : ③ (a+M=28)