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f(x)의 극댓값 6은 그대로 봉우리 6으로 남고, 극솟값 −2는 절댓값을 씌우는 순간 위로 접혀 +2짜리 새 봉우리가 된다. 또 f(x)가 x축과 만나던 세 점은 y=|f(x)|에서 y=0에 딱 닿는 골짜기 3개가 된다. 그래서 개형은 ‘봉우리 6 · 봉우리 2 · 골짜기 0(세 곳)’ 구조로 확정된다.
◀ 절댓값 그래프는 원래 극값과 x절편만 알면 개형이 바로 나온다
|f(x)|=t의 실근 개수는 곡선 y=|f(x)|와 수평선 y=t가 만나는 점의 개수와 같다. 교점 개수가 바뀌는 순간은 언제나 봉우리·골짜기 높이(t=0, 2, 6)를 지날 때다. 이 경계 높이마다 교점 수를 세어 표를 만들면 실수가 사라진다.
◀ 높이가 바뀌는 지점은 극값 높이에서만 발생한다
t=0이면 세 골짜기에 정확히 닿아 3점. t=6이면 최고 봉우리 꼭짓점 1개 + 바깥으로 뻗는 좌·우 두 가지 2개 = 3점. 그 사이 0<t<2에서는 6점, t=2는 5점, 2<t<6은 4점, t>6은 2점이라 3이 안 나온다. 따라서 t=0, 6뿐 → 합 6.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 절댓값이 붙은 방정식 |f(x)|=t는 무조건 y=|f(x)| 그래프를 먼저 그리고 수평선 y=t와의 교점 수로 바꿔 읽는다. f(x)의 극댓값 6은 봉우리 6, 극솟값 −2는 접혀서 봉우리 2, x절편 세 개는 골짜기 0이 되므로 개형이 바로 확정된다. 이제 t를 0부터 올리며 교점 수가 3이 되는 높이만 찾으면 끝이다.
실수 포인트 ① : 절댓값을 씌울 때 극솟값 −2를 그냥 −2로 두는 실수. 절댓값은 x축 아래 부분을 위로 접어 올리므로 −2는 +2 봉우리가 된다. 이 봉우리를 놓치면 t=2 부근 교점 개수가 통째로 어긋난다.
실수 포인트 ② : t=0을 후보에서 빼먹는 실수. 세 골짜기가 모두 y=0에 닿으므로 t=0일 때 정확히 3점이다. ‘실근 3개’의 절반이 여기서 나온다.
실수 포인트 ③ : t=6에서 최고 봉우리 꼭짓점(1점)만 세고 바깥으로 뻗는 좌·우 가지 2점을 놓쳐 교점을 1이나 2로 세는 실수. 꼭짓점 1 + 양끝 가지 2 = 3점이다. 따라서 t=0과 t=6, 두 값의 합은 0+6=6.
정답 : 6