문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
[−a, a]에서 최대·최소는 극점과 끝점 x=−a, x=a의 함숫값을 모두 계산해 비교하는 것이 원칙이다. 증감표를 그리면 어디가 극소/극대이고 끝값이 어떤지 한눈에 잡힌다. 문자 a가 껴 있어도 절차는 똑같다.
◀ 끝값을 빠뜨리는 순간 최대·최소가 틀어진다
f′(x)=3x²+2ax−a²을 (x+a)(3x−a)로 인수분해 → 극점 x=−a, x=a/3. a>0이므로 −a < a/3 < a로 셋 다 구간 [−a, a] 안팎 위치가 정리된다. 문자가 무섭다고 근의 공식 쓰지 말고 합·곱으로 인수분해부터 시도하라.
◀ 삼차 도함수는 문자가 껴도 인수분해가 먼저
직접 대입하면 f(−a)=f(a)=a³+2(최댓값 후보가 하나로 통일)이고, 극소 f(a/3)=−5a³/27+2가 최솟값이다. 최솟값 조건 −5a³/27+2=14/27로 a³=8 → a=2, 이때 M=f(a)=a³+2=10. a+M=12.
◀ 최솟값으로 a 먼저 확정 → 끝값 대입해 M
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 닫힌구간 최대·최소는 극값과 양끝값 비교가 전부다. f′(x)=(x+a)(3x−a)로 극점 x=−a, a/3을 잡고 증감표를 그리면, 최솟값은 극소 f(a/3)=−5a³/27+2, 최댓값 후보는 대칭 끝값 f(±a)=a³+2. 주어진 최솟값 14/27로 a를 먼저 확정한 뒤 M을 구하는 순서가 깔끔하다.
실수 포인트 ① : 극점 x=a/3이 구간 [−a, a] 안에 있는지 확인 안 하는 실수. a>0이라 −a
실수 포인트 ② : f(a/3) 계산에서 a³/27+a³/9−a³/3을 통분 못 해 값이 어긋나는 실수. 27로 통분하면 (1+3−9)/27=−5/27이다. 실수 포인트 ③ : a=2까지 구하고 최댓값 M을 극댓값으로 착각하는 실수. 이 구간에서 최댓값은 양끝값 f(±a)=a³+2=10이다. a+M=2+10=12. 정답 : 12