문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(−x)=f(x)라 홀수차항은 죽고, 상수항이 2로 주어졌으니 f(x)=x⁴+ax²+2. 미지수는 a 하나뿐이다. 상수항 2는 곧 f(0)=2, 즉 y축 위 극댓값 높이라는 것도 챙겨둬라.
◀ 주어진 상수항 = f(0) = 가운데 극댓값 높이
접은 그래프 y=|f(x)|는 봉우리가 3개(가운데 극댓값, 양옆 접힌 극솟값)다. 실근 5개가 되려면 세 봉우리 높이가 모두 k와 같아야 한다. 가운데 극댓값은 이미 f(0)=2=k이므로, 접힌 극솟값도 k=2가 되려면 극솟값=−2. 이 한 줄이 방정식을 만든다.
◀ 홀수 개 실근 = 직선이 극대점에 접함 → 극솟값=−k
f′(x)=4x³+2ax=2x(2x²+a), a<0이라 극소는 x=±√(−a/2). 대입하면 극솟값 −a²/4+2=−2 → a²=16 → a=−4(a<0). 따라서 f(x)=x⁴−4x²+2이고 f(1)=1−4+2=−1.
◀ 극솟값 조건을 a에 대한 방정식으로 번역하라
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 우함수+상수항 2로 f(x)=x⁴+ax²+2를 세우면 미지수는 a 하나. 핵심은 “실근 5개(홀수)”를 극값 높이 조건으로 번역하는 것이다. 접은 그래프의 세 봉우리 높이가 모두 2여야 하므로 극솟값=−2, 이를 f(±√(−a/2))=−2로 풀어 a를 얻는다.
실수 포인트 ① : “실근 5개”를 그냥 개수로만 보고 그래프 없이 헤매는 실수. 홀수 개 = 직선이 극대점에 접함이라는 신호로 읽어야 극솟값=−2가 보인다.
실수 포인트 ② : 극솟값을 구할 때 극댓값 f(0)=2와 헷갈려 부호를 +2로 잡는 실수. 접혀 올라오는 건 아래쪽 극소이므로 −2다.
실수 포인트 ③ : a=−4를 얻고도 마지막에 f(1)을 계산하지 않거나, f(x)=x⁴−4x²+2에 x=1 대입을 x⁴−4x²로 착각해 −3으로 답하는 실수. 상수항 +2를 빼먹지 마라. f(1)=−1.
정답 : ① (f(1)=−1)