문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
함수 y=2a−f(x)는 y=f(x)를 직선 y=a에 대하여 대칭이동한 것이다. 여기선 a=f(1). 그래서 g(x)는 x=1의 왼쪽은 f 그대로, 오른쪽은 직선 y=f(1)에 대해 뒤집은 그래프다. 이 대칭 구조를 먼저 그리면 x=1에서 좌극한 f(1)·우극한 2f(1)−f(1)=f(1)이 같아 ㄱ(연속)은 즉시 참.
◀ 상수−f(x) 꼴은 무조건 대칭이동으로 그려버려라
분모 h→0인데 극한이 존재하면 분자도 0이어야 한다. 여기서 함숫값 하나를 건진다. 남는 식은 {우미분계수}−{좌미분계수}로 분해된다. ㄴ은 x=−1이 f 영역이라 좌·우미분계수가 f′(−1)로 같아 그 차가 0, 즉 a=0. 이어 g(1)=1로 f를 확정하면 g(a)=g(0)=f(0)=1로 참.
◀ 대칭차분 극한 = (함숫값 조건) + (좌우미분계수의 차)
x=1에서 두 이차함수가 y=f(1)에 대해 대칭으로 만나므로, 만나는 점의 우미분계수와 좌미분계수는 절댓값이 같고 부호만 다르다. ㄷ에서 (우)−(좌)=4 → 우2, 좌−2 → b=1. 이걸로 f(x)=x²−4x+6을 확정해 g(4)=2f(1)−f(4)=6−6=0(≠1)이므로 거짓.
◀ 이 문제의 진짜 함정 — ㄷ의 좌우 배분
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 2f(1)−f(x)를 직선 y=f(1)에 대한 대칭이동으로 해석하는 게 전부다. ㄴ·ㄷ의 극한은 모두 g(c+h)+g(c−h) 꼴의 대칭차분이라, 분모가 0으로 가고 극한이 존재하면 분자도 0 → 함숫값 하나 확보, 나머지를 좌우미분계수의 차로 분해하는 2단 콤보로 풀린다.
실수 포인트 ① : 대칭차분에서 분자→0 단계를 건너뛰고 바로 미분계수로 가는 실수. 이 단계가 f(−1)=3, g(b)=3 같은 값을 주는 열쇠다.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 (우미분계수)−(좌미분계수)=4를 우4·좌0처럼 아무렇게 배분하는 실수. 대칭이라 크기 같고 부호 반대 → 우2, 좌−2로 못박아야 b=1이 나온다.
실수 포인트 ③ : 마지막에 g(4)=2f(1)−f(4)인데 f(1) 자리에 f(4)를 넣는 실수. f(x)=x²−4x+6이면 f(1)=3, f(4)=6 → g(4)=2·3−6=0. ㄷ은 거짓.
정답 : ② (ㄱ, ㄴ)