문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
최고차항 계수 1인 삼차함수가 원점(0, 0)을 지나고 x축과 x=α(α<0)에서 접하면, 식이 곧바로 f(x)=x(x−α)²로 확정된다. ‘접한다’는 중근(제곱 인수), ‘지난다’는 일차 인수. 그래프 정보를 식으로 번역하는 첫 단추다.
◀ 접점은 제곱, 교점은 일차 — 그래프가 곧 식이다
미분해서 증감표를 그려도 되지만, 삼차함수 비율관계를 쓰면 즉시 끝난다. f(x)=x(x−α)²는 원점과 접점 α 사이를 2:1로 내분하는 점 x=α/3에서 극소가 되고, 그 극솟값은 f(α/3)=4α³/27이다. 이 공식을 외워두면 계산이 세 줄로 줄어든다.
◀ 접점~원점 구간의 1/3 지점이 극소 (대치동 필수 암기)
극솟값이 −4이므로 4α³/27=−4 → α³=−27 → α=−3. 세제곱이 −27이라 정수로 예쁘게 떨어진다. 따라서 f(x)=x(x+3)²이고, f(1)=1×4²=16. 비율관계 공식 하나로 미분·증감표 없이 도착한다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 그래프가 원점을 지나고 x=α에서 x축에 접한다는 두 정보로 f(x)=x(x−α)²가 즉시 결정된다(접점은 제곱, 원점은 일차). 여기서 삼차함수 비율관계를 쓰면 미분 없이도 극소점이 x=α/3, 극솟값이 4α³/27임을 바로 알 수 있다.
실수 포인트 ① : α의 부호. 접점이 원점 왼쪽(음수)이므로 α<0이다. α=3으로 잡으면 그래프 개형이 뒤집혀 오답으로 간다.
실수 포인트 ② : 극댓값과 극솟값 혼동. 접점 x=α에서 극댓값은 0, x=α/3에서 극솟값이 −4다. −4를 극댓값 자리에 놓으면 식이 어긋난다.
실수 포인트 ③ : 비율관계 대신 미분할 때 f'(x)=(x−α)(3x−α)의 두 근 중 극소를 잘못 고르는 실수. α<0이라 α<α/3이고, 오른쪽 x=α/3이 극소다.
정답 : 16