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g(x)=x³−3x²+p로 놓으면 f=|g|는 g의 그래프에서 x축 아래 부분만 위로 뒤집은 모양이다. g′(x)=3x(x−2)=0 → x=0(극대), x=2(극소). 접기 전 g의 극대·극소부터 잡는 게 출발점이다.
◀ |g|는 g를 그린 뒤 아래쪽만 뒤집기
g가 x축 아래로 내려가면 그 극소가 접히면서 위로 솟는 극대가 된다. 그래서 f=|g|는 x=0(원래 극대)과 x=2(뒤집힌 극소) 두 곳에서 극대. 이 두 극대의 높이가 f(a)=f(b)로 같아야 한다는 게 조건이다.
◀ 아래로 내려간 극소가 절댓값에서 극대가 된다
|g(0)|=|g(2)|이고 하나는 양·하나는 음이어야 두 극대가 같은 높이로 맞물린다. g(0)=p, g(2)=8−12+p=−4+p. 절댓값 같고 부호 반대 ⇒ 합=0 : p+(−4+p)=0 → p=2. 절댓값 조건은 '합=0'으로 번역하면 계산이 한 줄이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f=|g|의 극대는 두 종류다 — g의 원래 극대(x=0)와, x축 아래로 내려간 g의 극소가 뒤집혀 생기는 극대(x=2). 두 극대의 높이가 같으려면 g의 극댓값 p와 극솟값 −4+p가 절댓값은 같고 부호는 반대여야 하므로 두 값의 합이 0. 이 한 줄이 문제 전체를 끝낸다.
실수 포인트 ① : |g|의 극대가 g의 극대에서만 나온다고 착각하는 실수. 아래로 뒤집힌 극소도 극대가 된다는 게 핵심이다.
실수 포인트 ② : g(2)=8−12+p 계산에서 −4+p를 +4+p로 부호를 틀리는 실수. 8−12=−4가 맞다.
실수 포인트 ③ : '절댓값이 같다'를 |p|=|−4+p|로만 풀어 엉뚱한 근까지 답에 넣는 실수. 두 극대가 함께 생기려면 부호가 반대여야 하므로 합=0 조건이 정확하다. p=2.
정답 : ② (p=2)