문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
x<1 구간에서 f′(x)=3x(x−2a)=0 → x=0 또는 x=2a. a<0이므로 2a<0. 즉 2a<0<1로 두 근이 모두 x<1 영역 안에 놓인다. 문자 임계점은 부호로 위치를 먼저 못 박아야 증감표가 흔들리지 않는다.
◀ 문자 임계점은 부호로 위치를 확정
x=1 왼쪽은 f′=3x(x−2a)>0(증가), 오른쪽은 f′=a<0(감소). 미분은 안 되지만 부호가 +→−로 바뀌므로 x=1에서 극대가 생긴다. 극댓값 f(1)=a(1−4)=−3a. 분기점을 극값 후보에서 빼면 합이 어긋난다.
◀ 미분불가능점도 극값 후보다
극대 f(2a)=8a³−12a³−1=−4a³−1, 극소 f(0)=−1, 극대 f(1)=−3a. 합=(−4a³−1)+(−1)+(−3a)=5 → 4a³+3a+7=0 → (a+1)(4a²−4a+7)=0. 이차식은 실근이 없어 a=−1. 극값을 하나도 빠뜨리지 않는 게 관건이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 분기함수의 극값은 세 군데에서 나온다 — x<1 삼차함수의 극대(x=2a)·극소(x=0), 그리고 경계 x=1. a<0이라 2a<0<1로 임계점 위치가 확정되고, x=1은 미분은 안 되지만 좌미분(+)·우미분(−) 부호가 바뀌어 극대가 된다. 세 극값을 모두 a식으로 써서 합=5 방정식을 풀면 a=−1.
실수 포인트 ① : 경계 x=1을 '미분이 안 되니 극값이 아니다'라며 제외하는 실수. 부호 전환이 있으면 미분불가능해도 극값이다.
실수 포인트 ② : 극댓값 f(2a)에서 (2a)³=8a³, 3a·(2a)²=12a³을 헷갈려 부호·계수를 틀리는 실수. −4a³−1이 맞다.
실수 포인트 ③ : f(−3)에서 잘못된 구간식을 대입하는 실수. −3<1이므로 x³−3ax²−1에 a=−1 대입 → −27+27−1=−1.
정답 : ② (−1)