문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f′(x)=6x(x−a)=0에서 x=0 또는 x=a. 두 근 중 하나가 문자 a라 어느 쪽이 극대이고 극소인지 a의 부호에 따라 뒤집힌다. a>0이면 x=0 극대·x=a 극소, a<0이면 정반대. 근에 문자가 끼면 무조건 부호로 경우를 갈라야 증감표가 확정된다.
◀ 근에 문자가 있으면 경우나누기가 기본값
a>0에서 극소는 x=a, 극솟값 f(a)=2a³−3a³+5a=−a³+5a. 이 값이 a와 같다는 조건 −a³+5a=a → a³−4a=0 → a(a−2)(a+2)=0. a>0이므로 a=2. ‘~값이 ~이다’는 언제나 등식(방정식)으로 옮겨 푸는 습관을 들여라.
◀ 조건 문장을 방정식으로 옮기는 게 핵심
a=0이면 f′(x)=6x²≥0이라 함수는 증가만 하고 극값이 없다. a<0이면 극소는 x=0, 극솟값 f(0)=5a=a → a=0으로 모순. 결국 살아남는 건 a=2뿐이다. 경우 중 하나가 극값 소멸이라는 함정을 놓치면 감점된다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f′(x)=6x(x−a)의 두 근이 0과 문자 a로 갈리므로, a의 부호에 따라 극대·극소 위치가 뒤바뀐다. 문자 계수의 부호로 경우를 나누는 것이 이 유형의 뼈대다. 조건 '극솟값=a'를 각 경우의 극솟값과 등식으로 놓아 a를 정하고, 그 a를 대입해 극댓값을 구한다.
실수 포인트 ① : a>0만 보고 a<0, a=0 경우를 빼먹는 실수. 특히 a=0이면 극값이 아예 없다는 걸 반드시 확인해야 한다.
실수 포인트 ② : 극솟값 f(a)에서 2a³−3a³을 계산할 때 부호를 놓치는 실수. 2a³−3a³=−a³이 맞다.
실수 포인트 ③ : a=2까지 구하고 멈춰 극댓값을 안 구하는 실수. 문제는 극댓값을 묻는다. f(x)=2x³−6x²+10에서 x=0일 때 극댓값 f(0)=10.
정답 : 10