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조건 (가)에서 x→−2일 때 분모 (x+2)²→0인데 극한값 k가 존재한다. 그러려면 분자 f(x)−2도 →0이어야 한다. 게다가 분모가 (x+2)² 제곱이므로, 극한이 유한하게 남으려면 분자도 (x+2)²을 인수로 품어야 한다.
◀ 0으로 나눠 유한값 = 분자·분모가 같은 인수를 공유
f는 최고차항 계수 1인 삼차함수. f(x)−2가 (x+2)²을 인수로 가지므로 남은 인수는 일차식 (x+a)다. 따라서 f(x)=(x+2)²(x+a)+2. 미정계수 a 하나만 남기고 식을 완성하는 게 정석 세팅이다.
◀ 인수 구조 + 최고차 계수로 식을 미지수 하나로 압축
조건 (나) 열린구간 (3,5)의 모든 x에서 f(x)≥f(4)라는 건, 그 구간에서 x=4가 최소=극소라는 뜻. 삼차함수의 극점은 f’=0이므로 f'(4)=0. f'(x)=2(x+2)(x+a)+(x+2)²에 x=4를 넣어 2·6·(4+a)+36=0 → a=−7.
◀ ‘어떤 점에서 값이 가장 작다’ = 그 점에서 f’=0
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 조건을 각각 식으로 번역하면 끝난다. (가) ‘분모→0, 극한 존재’는 분자가 같은 인수 (x+2)²을 품는다는 뜻 → f(x)=(x+2)²(x+a)+2. (나) ‘구간에서 f(x)≥f(4)’는 x=4가 극솟값 → f'(4)=0. 이 한 방정식으로 a=−7이 나온다. 조건 문장을 식으로 바꾸는 훈련이 전부다.
실수 포인트 ① : (가)에서 분자가 (x+2)를 한 번만 인수로 가진다고 두는 실수. 분모가 제곱이라 극한이 유한하려면 분자도 (x+2)²을 품어야 한다.
실수 포인트 ② : (나)를 최댓값 조건으로 오해하는 실수. f(x)≥f(4)는 f(4)가 가장 작다는 뜻, 즉 극솟값이므로 f’ 부호가 −에서 +로 바뀐다.
실수 포인트 ③ : f'(4)=0을 세울 때 곱의 미분을 빠뜨리는 실수. f'(x)=2(x+2)(x+a)+(x+2)²을 정확히 쓰고 x=4 대입: 2·6·(4+a)+36=0 → 4+a=−3 → a=−7.
계산 마무리 : f(x)=(x+2)²(x−7)+2이므로 f(3)=5²·(−4)+2=−100+2=−98.
정답 : ② (−98)