문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
점 P(t, f(t))에서의 접선은 y=f'(t)(x−t)+f(t)다. 여기 x=0을 넣으면 y절편 g(t)=f(t)−t·f'(t)가 곧바로 나온다. 접선식을 끝까지 정리하지 말고 x=0만 대입하는 게 훨씬 빠르다.
◀ y절편이 필요하면 접선식에 x=0만 꽂아라
f(x)=x³−3x²+2x, f'(t)=3t²−6t+2. g(t)=f(t)−t·f'(t)=(t³−3t²+2t)−t(3t²−6t+2)=−2t³+3t². 여기까지 오면 낯선 ‘접선의 y절편’이 아니라 익숙한 삼차함수 −2t³+3t²의 극값 문제가 된다.
◀ 새 함수 g(t)로 갈아탄 순간, 원래 f는 잊어라
g'(t)=−6t²+6t=−6t(t−1)=0 → t=0, t=1. 부호를 보면 t=0에서 극소 g(0)=0, t=1에서 극대 g(1)=−2+3=1. 따라서 합은 1+0=1. 극값의 ‘합’을 물으면 극점 t를 함수에 대입해 더하기만 하면 된다.
◀ 극값의 합 = 극점에서의 함숫값들의 합
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 겉보기엔 ‘접선의 y절편’이라는 낯선 대상이지만, y절편 = 접선식에 x=0 대입 = f(t)−t·f'(t)라는 한 줄로 g(t)를 t의 삼차식으로 바꾸면 그 뒤는 평범한 극값 문제다. 낯선 포장을 벗겨 익숙한 함수로 만드는 게 핵심.
실수 포인트 ① : g(t)를 구할 때 −t·f'(t)의 부호와 분배를 틀리는 실수. −t(3t²−6t+2)=−3t³+6t²−2t를 꼼꼼히 전개해야 −2t³+3t²이 나온다.
실수 포인트 ② : 극댓값·극솟값을 t값(0, 1)으로 착각해 그대로 더하는 실수. 물어본 건 g의 값이므로 g(0)=0, g(1)=1을 더해야 한다.
실수 포인트 ③ : 증감표에서 t=0을 극대, t=1을 극소로 뒤집는 실수. g'(t)=−6t(t−1)은 위로 볼록한 포물선이라 t=0에서 극소, t=1에서 극대다.
정답 : 1