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부등식 f'(x){f(x)−2}≤0은 두 인수의 곱이다. 곱이 0 이하면 두 인수의 부호가 서로 반대(또는 하나가 0)여야 한다. 즉 ① f'(x)≥0 이고 f(x)≤2, 또는 ② f'(x)≤0 이고 f(x)≥2. 이 두 경우로 분해하는 게 출발점이다.
◀ 곱의 부등식은 각 인수의 부호 조합으로 번역하라
f는 위로 볼록한 이차함수, 꼭짓점 x=2(f'(2)=0). 그래서 x<2는 증가(f’≥0), x>2는 감소(f’≤0). 경우 ①은 증가구간 (−3,2)에서 f(x)≤2인 정수 찾기, 경우 ②는 감소구간 [2,7)에서 f(x)≥2인 정수 찾기로 바뀐다. f’을 직접 구할 필요가 없다.
◀ f’의 부호는 미분 말고 이차함수 개형으로 판단
증가구간에서 f(x)≤2인 정수는 −2, −1, 감소구간에서 f(x)≥2인 정수는 2, 3, 4. y=2와 만나는 x 근처의 정수(예: 5)가 구간에 들어가는지 눈금이 아니라 부등식으로 확정해야 한다. 여기선 5가 빠져 총 5개다.
◀ 이 문제의 함정: 경계 정수 하나를 넣고 빼는 데서 답이 갈린다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 인수의 곱으로 된 부등식은 부호 조합으로 쪼개는 게 정석이다. f'{f−2}≤0 ⇔ (f’≥0 그리고 f≤2) 또는 (f’≤0 그리고 f≥2). 그리고 f’의 부호는 계산하지 말고 이차함수 그래프의 증가·감소로 읽는다. 꼭짓점 x=2를 기준으로 왼쪽은 증가, 오른쪽은 감소.
실수 포인트 ① : 곱을 두 경우로 나누지 않고 f’ 하나 또는 f 하나만 보고 정수를 세는 실수. 반드시 두 조합을 모두 따져야 빠짐없이 센다.
실수 포인트 ② : 증가·감소의 경계 x=2를 어디서 셀지 헷갈리는 실수. f'(2)=0이라 x=2에서는 곱이 0이 되어 어느 쪽에서 세도 만족하므로 중복해서 두 번 세지 마라.
실수 포인트 ③ : y=2와 만나는 지점 근처의 정수(x=5)를 습관적으로 포함시키는 실수. 그 점에서 f(x)≥2가 실제로 성립하는지 부등호로 확인하면 빠진다. 최종 정수는 −2, −1, 2, 3, 4로 5개.
정답 : ② (5개)