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점 (t, f(t))에서 접선 y=f'(t)(x−t)+f(t)에 x=0을 넣으면 y절편 g(t)=f(t)−t·f'(t)다. f(t)=t³−(a+2)t²+at, f'(t)=3t²−2(a+2)t+a를 대입해 정리하면 g(t)=−2t³+(a+2)t². 접선 절편 문제는 이 한 방으로 g(t)를 t의 함수로 만든다.
◀ 접선 y절편 = f(t) − t·f′(t), 외워두면 즉답
g(t)=−2t³+(a+2)t²이면 g'(t)=−6t²+2(a+2)t=2t{−3t+(a+2)}. g(t)가 열린구간 (0,5)에서 증가하려면 이 구간 전체에서 g'(t)≥0이어야 한다. g'(t)는 최고차 계수가 음(−6)인 위로 볼록 포물선이라 두 근 사이에서만 양수다.
◀ ‘구간에서 증가’ = 그 구간 전체에서 도함수 ≥ 0
g'(t)=2t{−3t+(a+2)}는 t=0과 t=(a+2)/3에서 0인 위로 볼록 포물선이다. (0,5)에서 g’≥0이려면 오른쪽 근이 5보다 오른쪽에 있으면 되고, 이는 경계값 g'(5)≥0 하나로 판정된다. −150+10(a+2)≥0 → a≥13. 최솟값 13.
◀ 위로 볼록 포물선의 구간 부호는 끝점 대입으로 끝난다
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 접선의 y절편 문제는 g(t)=f(t)−t·f'(t)로 절편을 t의 함수로 뽑아내는 게 첫 단추다. 정리하면 g(t)=−2t³+(a+2)t²이 나오고, ‘구간 (0,5)에서 증가’는 곧 그 구간 전체에서 g'(t)≥0을 뜻한다. g'(t)가 최고차 계수 음수인 위로 볼록 포물선이고 t=0을 근으로 가지므로, 구간 오른쪽 끝 g'(5)≥0 하나만 확인하면 되는 구조로 압축된다.
실수 포인트 ① : y절편을 구할 때 x=0이 아니라 y=0을 대입하는 실수. y절편은 x=0일 때의 y값이다.
실수 포인트 ② : g'(t)의 볼록 방향을 착각해 최솟값이나 g'(0)을 확인하려는 실수. 최고차 계수가 −6<0이라 위로 볼록이고, 이런 포물선은 양 끝이 아래로 처지므로 구간 안에서 양수를 유지하려면 오른쪽 끝 g'(5)≥0만 보면 된다.
실수 포인트 ③ : ‘최솟값’을 물었는데 부등호를 뒤집어 a≤13으로 착각하는 실수. g'(5)≥0에서 a≥13이므로 a가 가질 수 있는 최솟값은 13이다.
정답 : 13