문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x+y)=2f(x)f(y)에 x=0, y=0을 넣으면 f(0)=2f(0)2, 정리하면 f(0){2f(0)−1}=0 → f(0)=0 또는 1/2. 여기서 조건 f(x)>0이 f(0)=0을 걷어내 f(0)=1/2로 확정한다. 관계식은 0을 대입하는 순간 초기값이 열린다.
◀ f(x)>0 같은 부등식 조건은 값을 하나로 좁히는 열쇠
f'(2)=limh→0[f(2+h)−f(2)]/h. 여기서 x=2, y=h를 관계식에 넣으면 f(2+h)=2f(2)f(h). 대입하면 [2f(2)f(h)−f(2)]/h=2f(2)×[f(h)−1/2]/h. f(2)는 h와 무관한 상수라 극한 밖으로 빼낸다.
◀ f(2)는 상수 취급 — 극한 밖으로 끌어내는 게 핵심
f(0)=1/2였으니 [f(h)−1/2]/h=[f(h)−f(0)]/h → h→0이면 곧 f'(0). 따라서 f'(2)=2f(2)×f'(0)=2f(2)×5=10f(2). 그래서 f'(2)/f(2)=10. 상수 1/2가 사실은 f(0)이라는 걸 알아채면 정의로 바로 떨어진다.
◀ 상수항을 f(0)로 바꿔 읽으면 미분계수 정의가 완성된다
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 함수 관계식 + 미분계수 문제의 전형이다. ① x=y=0으로 f(0) 확보 ② f'(2) 정의에 관계식 대입 ③ f'(0) 정의로 착지, 이 3단 콤보가 뼈대다. f(x+y)=2f(x)f(y)는 지수함수 f(x)=½ekx 꼴이 배경이지만, 몰라도 정의만으로 풀린다.
실수 포인트 ① : f(0)=0을 답으로 남기는 실수. f(x)>0이라는 조건을 안 쓰면 함정에 빠진다. 모든 실수에서 양수이므로 f(0)=0은 불가능, f(0)=1/2만 살아남는다.
실수 포인트 ② : f(2+h)=2f(2)f(h) 대입 후 f(2)를 극한 안에 방치하는 실수. f(2)는 상수이므로 lim 밖으로 빼야 남은 부분이 f'(0) 정의가 된다.
실수 포인트 ③ : [f(h)−1/2]/h를 그냥 계산하려다 막히는 실수. 1/2=f(0)임을 알아채 [f(h)−f(0)]/h=f'(0)=5로 읽는 게 관건. 마지막에 f(2)/f(2)=1로 약분되어 답은 f(2) 없이 10으로 딱 떨어진다.
정답 : ⑤ (10)