문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
y=x³−ax²+2ax+1을 a에 대해 정리하면 y=a(−x²+2x)+(x³+1). a가 어떤 값이든 성립하려면 a의 계수 −x²+2x=0이어야 한다. −x(x−2)=0 → x=0 또는 x=2. x=0이면 P(0, 1), x=2이면 Q(2, 9). 파라미터로 묶는 순간 고정점이 드러난다.
◀ 'a와 무관' = a의 계수를 0으로 만드는 x
f'(x)=3x²−2ax+2a. 점 P(0, 1)의 기울기는 f'(0)=2a, 점 Q(2, 9)의 기울기는 f'(2)=12−4a+2a=12−2a. 두 접선이 수직이므로 곱이 −1: 2a(12−2a)=−1. 정리하면 4a²−24a−1=0. 수직 조건은 언제나 '기울기 곱=−1' 한 줄로 방정식이 된다.
◀ 수직 = 기울기 곱 −1, 접선 기울기는 f'(x)
4a²−24a−1=0의 두 근을 실제로 구할 필요가 없다. '모든 a값의 합'만 물었으므로 근과 계수의 관계로 두 근의 합=24/4=6. 판별식이 양수(24²+16>0)라 서로 다른 두 실근이 존재함도 확인된다. 합·곱만 물으면 근호는 건드리지 마라.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 곡선이 'a에 관계없이 항상' 지나는 점을 찾는 게 첫 관문이다. 식을 a에 대해 정리해 a(−x²+2x)+(x³+1) 꼴로 만들고, a의 계수를 0으로 만드는 x=0, x=2에서 고정점 P(0, 1), Q(2, 9)를 얻는다. 그다음은 두 점에서의 접선 기울기 f'(0), f'(2)를 구해 수직 조건(곱=−1)으로 a의 이차방정식을 세우고, 근과 계수의 관계로 합을 즉시 읽는다.
실수 포인트 ① : −x²+2x=0을 풀 때 x=0 하나만 찾고 x=2를 빠뜨리는 실수. 인수분해 −x(x−2)=0에서 근은 두 개다.
실수 포인트 ② : f'(2)=12−4a+2a를 12−4a로 잘못 정리하는 실수. 2ax 항의 미분 2a를 빠뜨리지 마라. 정확히 12−2a다.
실수 포인트 ③ : 4a²−24a−1=0의 근을 근의 공식으로 힘들게 구하려는 실수. 두 근의 합만 물었으니 24/4=6으로 끝난다.
정답 : 6