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접선 조건 한 줄에 정보가 두 개다. 곡선이 점 (1,1)을 지난다는 건 f(1)=1, 그 점에서 접선 기울기가 12라는 건 f'(1)=12. y좌표와 기울기를 각각 함숫값·미분계수로 갈라 적는 순간 조건 (가)는 끝난다.
◀ 접선 문장은 항상 함숫값 f(1)과 미분계수 f'(1)로 분해
Σn=14 xn/n = x + x²/2 + x³/3 + x⁴/4로 먼저 풀어쓰면 g(x)=f(x)×(그 다항식)인 곱 구조가 보인다. 이제 g'(x)=f'(x)(다항식)+f(x)(다항식)’. f 전체를 몰라도 x=1에서의 f(1), f'(1)만 있으면 대입으로 끝난다.
◀ g'(1)만 필요 → f를 다 구할 필요 없이 x=1 두 값만
d/dx(xn/n)=xn−1. 분모 n이 미분 계수와 정확히 상쇄되어 (다항식)’=1+x+x²+x³이 된다. x=1을 넣으면 다항식은 1+1/2+1/3+1/4=25/12, 그 미분은 1+1+1+1=4. 그래서 g'(1)=12×25/12+1×4=29.
◀ 이 문제의 출제 포인트
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 조건 (가)는 f에 대한 두 정보 f(1)=1, f'(1)=12로, 조건 (나)는 곱미분 준비로 번역한다. 물어본 건 g'(1) 하나뿐이므로 f(x)의 정체를 알 필요가 전혀 없다. x=1에서의 값 두 개면 충분하다는 걸 처음부터 알고 들어가면 계산이 가벼워진다.
실수 포인트 ① : 점 (1,1)의 y좌표 1을 기울기로 착각해 f'(1)=1로 쓰는 실수. 지나는 점 → f(1)=1, 기울기 → f'(1)=12로 확실히 갈라라.
실수 포인트 ② : Σx^n/n을 미분할 때 분모 n을 그대로 남기는 실수. d/dx(x^n/n)=x^(n−1)이라 분모 n은 사라진다. 그래서 미분항이 1+x+x²+x³로 깔끔해진다.
실수 포인트 ③ : x=1 대입에서 1+1/2+1/3+1/4=25/12 계산을 놓치는 실수. 12×25/12는 25로 딱 떨어지고, 여기에 f(1)×4=4를 더해 29. 통분만 정확히 하면 분수가 곱셈에서 예쁘게 약분된다.
정답 : ② (g'(1)=29)