문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)=f(−x)인 우함수는 미분하면 부호가 뒤집혀 도함수가 기함수가 된다(f′(−x)=−f′(x)). 따라서 f′(−2)=−f′(2)=−(−2)=2. ‘그래프가 y축 대칭’이라는 한 줄을 보면 곧바로 도함수의 대칭을 떠올려야 −2에서의 미분계수가 손에 들어온다.
◀ 우함수의 도함수는 기함수 (표로 암기)
x→−2인데 분모가 f(x)−f(2)라 어색하다. 우함수라 f(2)=f(−2)이니 분모를 f(x)−f(−2)로 바꾼다. 그러면 (x+2)/{f(x)−f(−2)}가 미분계수 1/f′(−2)의 정의 꼴로 딱 맞아떨어진다. ‘대칭’을 쓰면 계산점 −2에 맞는 정의가 만들어진다.
◀ 접근값 −2에 맞게 함숫값을 대칭으로 바꾼다
[f(x²)−f(4)]/[f(x)−f(−2)]에 ×(x²−4)/(x²−4)×(x+2)/(x+2)를 끼워 세 조각으로 쪼갠다. → f′(4) × 1/f′(−2) × (x−2). 각각 −3, 1/2, −4가 되어 (−3)·(1/2)·(−4)=6. ‘없는 분모를 만들어 정의를 심는’ 게 미분계수 극한의 핵심 스킬이다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : y축 대칭(우함수)이면 도함수는 기함수라는 성질에서 f′(−2)=−f′(2)=2와 f(2)=f(−2)를 뽑는다. 분모를 f(x)−f(−2)로 갈아끼운 뒤, 곱했다 나누는 조작으로 f′(4)×1/f′(−2)×(x−2) 세 조각을 만들면 값은 (−3)×(1/2)×(−4)=6.
실수 포인트 ① : 접근값이 x→−2인데 f′(2)만 쓰고 f′(−2)로 안 바꾸는 실수. 대칭을 이용해 반드시 −2 쪽 미분계수를 만들어야 한다.
실수 포인트 ② : 우함수의 도함수가 기함수라는 걸 반대로 알아 부호를 놓치는 실수. f′(−2)=−f′(2)=−(−2)=+2다.
실수 포인트 ③ : (x²−4)/(x+2)=x−2인데 이를 x+2로 착각하거나, x→−2 대입값을 −4가 아닌 값으로 잘못 계산하는 실수.
정답 : 6