문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
극한값을 읽을 땐 채워진 점(●)·빈 점(○)은 모두 무시하고 선이 도착하기 직전의 높이만 본다. x→0+는 오른쪽 선분이 향하는 1, x→1은 좌·우 모두 꼭짓점 2. 함숫값 f(1)은 채워진 점 1이라 극한 2와 다르다.
◀ 극한=도착 직전 높이, 함숫값=채워진 점(●)
(x−1)f(x)의 좌극한은 lim(x−1)×lim f(x)=0×2=0, 우극한도 0×2=0, 함숫값 (1−1)f(1)=0. 셋이 모두 0으로 같으니 연속. 곱함수는 lim(fg)=lim f · lim g로 분리해 각 인수를 따로 읽는 게 핵심이다.
◀ lim(fg)=lim f × lim g, 각 인수 따로 읽기
f는 x=0, x=1에서 불연속인데 (x−1)f(x)는 x=1에서 인수 (x−1)이 0이 되어 f의 점프를 눌러 죽여 연속이 된다. 반대로 (x+1)f(x)는 x=1에서 인수가 2(≠0)라 점프가 살아남아 불연속. 인수가 그 점에서 0이 되느냐가 갈림길이다.
◀ 불연속점에서 곱해지는 인수=0 → 연속, ≠0 → 불연속
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)가 x=0, x=1 두 곳에서 불연속인 그래프다. 곱함수 (x−a)f(x)의 연속은 그 점에서 곱해지는 인수가 0이 되는지로 갈린다. 인수가 0이면 좌·우극한과 함숫값이 전부 0으로 눌려 연속, 0이 아니면 f의 점프가 그대로 살아 불연속이다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 limx→1f(x)=2인데 함숫값 f(1)=1과 헷갈려 ‘연속’이라 오판하는 실수. 극한(2)≠함숫값(1)이라 거짓이다.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 (x−1)f(x)를 통째로 대입하려다 막히는 실수. lim(x−1)×lim f(x)로 분리하면 0×2=0으로 깔끔하다.
실수 포인트 ③ : ㄹ에서 (x+1) 때문에 불연속점이 사라진다고 착각하는 실수. x=0, x=1에서 (x+1)은 1, 2로 0이 아니라 점프를 못 죽인다 → 불연속점 2개.
정답 : ⑤ (ㄱ, ㄷ, ㄹ)