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f(x)g(x)의 x=0 좌극한은 (−2)·g(0), 우극한은 (2)·g(0). 이 둘이 같으려면 −2g(0)=2g(0) → g(0)=0뿐이다. f의 좌·우 점프폭이 다를 땐 g(0)=0으로 양쪽을 모두 0으로 눌러야 연속이 된다.
◀ 점프불연속점에서 곱 연속의 유일한 열쇠 = g(0)=0
ㄷ의 g(x)=(x²−3x)/(x−3)=x(x−3)/(x−3)=x. 정의 안 되는 x=3은 구간 [−2, 2] 밖이라 신경 쓸 필요 없다. 결국 g(x)=x, g(0)=0이라 연속. 유리식은 겉모습에 속지 말고 약분 후 판정하라.
◀ 유리식은 약분 후 판정, 구간 밖 특이점은 패스
ㄴ의 g(x)=|x|/x는 x=0에서 정의 자체가 안 된다. 아무리 f가 좋아도 g가 그 점에서 없으면 곱 f·g도 자동 불연속. ‘그 점에서 정의됨’은 연속의 0번째 조건이다.
◀ 정의 안 되는 점 = 곱도 무조건 불연속
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f(x)는 x=0에서 좌극한 −2, 우극한 +2인 점프불연속이고 나머지는 연속이다. f·g가 [−2, 2]에서 연속이려면 x=0만 해결하면 되는데, 좌극한 −2g(0)과 우극한 2g(0)이 같아야 하므로 g(0)=0이 유일한 조건이다. g(0)=0인 보기를 고르면 끝난다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 |x|/x를 좌 −1, 우 +1로만 보고 f와 곱해 판단하려는 실수. g가 x=0에서 정의조차 안 되면 곱은 무조건 불연속이다.
실수 포인트 ② : ㄷ의 유리식을 약분 안 하고 복잡하게 보는 실수. (x²−3x)/(x−3)=x로 약분되고 x=3은 구간 밖이라 g(x)=x, g(0)=0 → 연속이다.
실수 포인트 ③ : g(0)=0이면 곱이 0이 되는데도 f의 점프에 겁먹는 실수. 0×(유한값)=0이라 좌·우 양쪽이 모두 0으로 같아진다.
정답 : ④ (ㄱ, ㄷ)