문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
f(x)−k는 그래프를 y축으로 −k만큼 평행이동한 것이라 불연속인 x값은 f와 똑같이 x=−1, 0, 1. 절댓값 |f(x)−k|의 불연속 후보도 이 세 점뿐이다. 개수가 1이 되려면 세 점 중 두 곳에서 연속이 되도록 k를 골라야 한다.
◀ 평행이동·절댓값 어떤 변형도 불연속의 x좌표는 못 옮긴다
원래 좌극한≠우극한이라 끊긴 점도, 절댓값을 씌우면 두 극한의 크기만 같으면 이어진다. x=−1은 |2−k|=|k|, x=0은 |2−k|=|k|, x=1은 |4−k|=|k|. 각 점에서 이 등식이 성립하면 그 점은 연속으로 되살아난다.
◀ 절댓값은 부호가 반대여도 크기가 같으면 붙는다
|2−k|=|k| → 4−4k+k²=k² → k=1(x=−1, x=0 동시 연속). |4−k|=|k| → 16−8k+k²=k² → k=2(x=1 연속). k=1이면 x=−1, 0 두 곳이 연속되어 불연속은 x=1 하나 → 개수 1 ✔. k=2면 두 곳이 불연속이라 탈락. 답 k=1.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : |f(x)−k|의 불연속점은 f(x)의 불연속점 x=−1, 0, 1을 벗어날 수 없다. 평행이동(−k)도 절댓값도 끊기는 x좌표는 못 옮기기 때문이다. 그래서 ‘불연속 개수 1’은 세 후보 중 두 곳을 연속으로 만드는 문제로 바뀐다. 각 점에서 |좌극한−k|=|우극한−k| 등식을 세우고 제곱해 k를 구한 뒤, 그 k가 몇 개의 점을 연속으로 만드는지 되짚으면 된다.
실수 포인트 ① : 그래프에서 좌·우극한을 채워진 점(●)의 함숫값과 헷갈리는 실수. 극한은 ‘도착 직전의 높이’다. x=1 좌극한은 4, 우극한은 0으로 읽어야 한다.
실수 포인트 ② : |A|=|B|를 A=B로만 풀어 해 하나를 놓치는 실수. 반드시 양변을 제곱(A²=B²)해 부호가 반대인 경우까지 챙겨라.
실수 포인트 ③ : k=1과 k=2를 모두 답으로 적는 실수. k=2는 x=−1, x=0 두 곳이 불연속이라 개수가 2가 되어 탈락. 개수 1을 만드는 건 k=1뿐이다.
정답 : (k=1)