문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
|x|≥3에서 ax+b는 다항함수라 그 구간 내부는 자동 연속, |x|<3에서 (|x|−3)/(9−x²)도 분모≠0인 내부는 자동 연속이다. 끊길 위험은 오직 두 식이 갈리는 x=−3, x=3뿐. 여기 좌우극한만 맞추면 게임 끝이다.
◀ 조각함수 연속은 경계점 x=±3 두 곳만 검사한다
경계에서 분자·분모가 동시에 0이 되는 0/0꼴. 9−x²=−(x−3)(x+3)로 쪼개고, x>0 근처면 |x|=x, x<0 근처면 |x|=−x로 절댓값을 벗겨 (x−3)이나 (x+3)을 약분하면 −1/(x+3) 같은 유한값이 튀어나온다. x=3 좌극한 −1/6, x=−3 우극한 −1/6.
◀ 0/0은 반드시 인수분해·약분으로 유한값을 뽑아낸다
x=−3: −3a+b=−1/6, x=3: 3a+b=−1/6. 두 식을 더하면 2b=−1/3 → b=−1/6, 빼면 6a=0 → a=0. 경계 두 곳이 미지수 두 개(a, b)와 정확히 짝을 이룬다. a−b=0−(−1/6)=1/6.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 구간별로 다항함수와 유리함수가 붙어 있으니, 각 구간 내부는 이미 연속이고 오직 두 식이 갈리는 경계점 x=−3, x=3에서만 연속을 따지면 된다. 경계에서 유리식은 0/0꼴이라 9−x²=−(x−3)(x+3)로 인수분해하고 절댓값 |x|를 부호에 맞게 벗겨 약분하면 유한한 극한값 −1/6이 나온다. 이 값과 ax+b를 같게 두면 a, b 연립방정식이 완성된다.
실수 포인트 ① : 경계 근처에서 |x|를 무심코 x로만 벗기는 실수. x=−3 우극한은 x<0쪽이라 |x|=−x다. 부호를 틀리면 약분 후 극한값의 부호가 뒤집힌다.
실수 포인트 ② : 9−x²를 (x−3)(x+3)로 인수분해하며 앞의 음부호를 빠뜨리는 실수. 9−x²=−(x−3)(x+3)임을 잊지 마라.
실수 포인트 ③ : a−b를 구할 때 b=−1/6의 부호를 빼먹는 실수. a−b=0−(−1/6)=1/6이다.
정답 : ④ (a−b=1/6)