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x<0에서 f(x)+g(x)=x²+4이므로 g(x)=−f(x)+x²+4, x>0에서 f(x)−g(x)=x²+2x+8이므로 g(x)=f(x)−x²−2x−8. 미지함수가 f, g 두 개면 막막하다. 한쪽(g)을 다른 쪽(f)으로 표현해 변수를 f 하나로 줄여라. 그래야 f(0) 하나만의 방정식이 나온다.
◀ 미지함수가 둘이면 한쪽을 다른 쪽으로 표현해 하나로 줄인다
f(x)가 x=0에서 연속이라는 건 limx→0−f(x)=limx→0+f(x)=f(0). 그래서 g의 좌극한 −f(0)+4, 우극한 f(0)−8이 전부 f(0) 하나로 묶인다. 연속 조건은 흩어진 좌·우극한을 한 문자 f(0)으로 꿰는 실이다.
◀ 연속 조건은 좌·우극한을 f(0) 하나로 통일하는 열쇠
g의 좌극한 −f(0)+4에서 우극한 f(0)−8을 빼면 {−f(0)+4}−{f(0)−8}=−2f(0)+12. 이것이 6과 같으므로 −2f(0)=−6, f(0)=3. 주어진 극한 관계식은 손댈 것 없이 그대로 미지수 방정식이 된다.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 미지함수가 f, g 둘이라 막막해 보이지만, 두 조건식을 각각 g에 대해 정리하면 g가 전부 f로 표현된다. 남은 미지수는 f 하나뿐. ‘f가 x=0에서 연속’은 좌극한=우극한=f(0)을 뜻하므로 g의 좌·우극한이 모두 f(0)으로 묶이고, 주어진 극한차 6이 곧바로 f(0)에 대한 일차방정식이 된다.
실수 포인트 ① : f(x)−g(x)=x²+2x+8에서 g를 넘길 때 부호를 놓쳐 g(x)=x²+2x+8−f(x)로 쓰는 실수. 넘기면 g(x)=f(x)−(x²+2x+8)이다.
실수 포인트 ② : 좌극한과 우극한을 바꿔 빼는 실수. 문제는 limx→0−g − limx→0+g=6이다. 순서를 지켜 {−f(0)+4}−{f(0)−8}로 세워야 −2f(0)+12=6이 나온다.
실수 포인트 ③ : −2f(0)=−6에서 부호를 놓쳐 f(0)=−3으로 답하는 실수. 양변을 −2로 나누면 f(0)=3이다.
정답 : ⑤ (f(0)=3)