문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
√(x²+x+1)을 (x+1/2)²=x²+x+1/4와 비교하면 x→∞에서 √(x²+x+1)≈x+1/2. 그럼 원식≈(1+a)x+(1/2+b). 유리화 없이도 x의 계수 1+a=0 → a=−1, 상수 1/2+b=1 → b=1/2가 즉시 나온다. 유리화는 이 근사를 엄밀히 확인하는 절차일 뿐, 답은 근사로 먼저 잡는다.
◀ √(x²+px+q)→x+p/2, 무리식 극한의 만능 근사
유리화하면 분자 최고차 계수 1−a²=0 → a²=1 → a=±1. 여기서 멈추면 안 된다. a≥0이면 √(…)+ax+b가 ∞로 발산하므로 극한이 존재하려면 a<0. 따라서 a=−1만 살아남는다. 짝수제곱에서 나온 상수는 항상 부호 조건을 따로 챙겨야 오답을 피한다.
◀ 제곱해서 나온 상수는 부호 조건이 진짜 답을 가른다
a=−1, b=1/2를 넣으면 (−x²+3x+1)/((1/2)x²−2x+3). x→∞에서는 최고차항만 지배하므로 나머지 항은 볼 필요 없이 (−1)÷(1/2)=−2. 분모·분자를 x²으로 나누는 정석을 써도 되지만, ‘최고차 계수비’로 바로 읽으면 5초컷이다.
◀ 분자·분모 차수가 같으면 답 = 최고차 계수의 비
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 무리식+일차식이 유한값으로 수렴하려면 x→∞에서 커지는 항을 서로 상쇄시켜야 한다. √(x²+x+1)≈x+1/2 근사로 (1+a)x+(1/2+b) 꼴을 만들면, x의 계수를 0으로 죽여 a=−1, 남은 상수로 b=1/2가 바로 나온다. a,b를 잡은 뒤 유리함수 극한은 최고차 계수비로 마무리한다.
실수 포인트 ① : a²=1에서 a=1을 답으로 고르는 실수. a≥0이면 발산하므로 a=−1이어야 극한이 존재한다.
실수 포인트 ② : b를 구할 때 √(x²+x+1)≈x가 아니라 x+1/2임을 놓쳐 b=1로 잘못 잡는 실수. 완전제곱의 절반(p/2)이 상수항에 그대로 들어간다.
실수 포인트 ③ : 마지막 유리함수 극한에서 (−1)÷(1/2)를 −1/2로 잘못 계산하는 실수. 1/2로 나누는 건 2를 곱하는 것이라 −2다.
정답 : ① (−2)