문제를 풀기전에 힌트를 보면서 풀어보세요. 20년경력 수학강사가 최고비싼 ai와 함께 작성합니다. 계속해서 수정하고 보완하겠습니다. 댓글 피드백 언제나 환영합니다
(가)에서 분모·분자를 x로 나눈다. 단 x→−∞라 x<0이므로 √(x²+2)/x=−√(1+2/x²) (√x²=|x|=−x이기 때문). 그래서 분모 → −1−0=−1, 분자는 4 → a=4/(−1)=−4. 양의 무한대 습관대로 +로 두면 답이 통째로 뒤집힌다.
◀ 음의 무한대의 함정은 오직 '루트 앞 부호'
(나) √(x²+2x)+x는 x→−∞에서 (+∞)+(−∞)인 ∞−∞꼴. 켤레 √(x²+2x)−x를 위아래 곱해 유리화하면 분자가 x²+2x−x²=2x로 깔끔해진다. lim 2x/(√(x²+2x)−x)만 남는다. ∞−∞를 보면 조건반사로 유리화부터 하라.
◀ ∞−∞ = '유리화하라'는 신호
(나)에서 x=−t (t→+∞)로 바꾸면 √(t²−2t)−t = −2t/(√(t²−2t)+t), t로 나눠 −2/(1+1)=−1 → b=−1. 음의 무한대가 부담되면 양의 변수 t로 치환해 √ 부호 실수를 원천봉쇄하는 게 대치동 스킬이다. 따라서 b−a=−1−(−4)=3.
◀ 음의 무한대는 t 치환으로 양수화하면 안전
풀이영상
좋은 영상을 찾아서 보완하겠습니다.
해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 두 극한 모두 x→−∞의 무리식이라, 핵심은 루트 밖으로 x를 꺼낼 때 붙는 부호다. (가)는 분모·분자를 x로 나누되 √(x²+2)/x=−√(1+2/x²)로 −를 챙기고, (나)는 ∞−∞라 유리화한 뒤 같은 부호 규칙을 적용한다. 헷갈리면 x=−t 치환이 안전판이다.
실수 포인트 ① : √(x²+2)/x를 그냥 +√(1+2/x²)로 두는 실수. x<0이면 반드시 −가 붙는다. 이 하나로 a의 부호가 통째로 바뀐다.
실수 포인트 ② : (나)를 ∞−∞로 인식 못 하고 각 항의 극한을 따로 보내 발산이라 답하는 실수. √+x는 유리화 대상이다.
실수 포인트 ③ : 마지막 b−a에서 부호 계산 실수. a=−4, b=−1이므로 b−a=(−1)−(−4)=+3이다.
정답 : 3 (a=−4, b=−1)