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f(x)→∞, f−3g→2(유한)이다. [f(x)−3g(x)]/f(x)=2/f(x)→0(유한/∞). 즉 1−3·g/f→0이므로 lim g(x)/f(x)=1/3 [ㄱ 참]. ∞가 든 식은 그 ∞로 나눠 상수를 0으로 죽이는 게 만능키다.
◀ 유한/∞=0, 이 한 줄이 보기 전체를 관통한다
f−g=f(1−g/f). f→∞이므로 유한이 되려면 (1−g/f)→0, 즉 g/f→1이어야 한다. 그런데 ㄱ에서 g/f=1/3≠1이다. 1−1/3=2/3≠0이라 f·(2/3)→∞. 2가 절대 될 수 없다 [ㄴ 거짓].
◀ ∞×(0 아닌 값)=∞, 유한이 될 수 없다
(f+2g)/(f−2g)의 분모·분자를 f로 나누면 (1+2·g/f)/(1−2·g/f). g/f=1/3 대입: (1+2/3)/(1−2/3)=(5/3)/(1/3)=5 [ㄷ 참]. 따라서 정답은 ③ ㄱ, ㄷ.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : f→∞이고 (f−3g)→유한이라는 게 핵심. ‘∞ 항이 든 식 ÷ f = 유한 ÷ ∞ = 0’이라는 한 수로 g/f=1/3을 먼저 확보한다. 이 값 하나로 ㄴ, ㄷ이 전부 판별된다.
실수 포인트 ① : ㄴ에서 차의 극한이 유한이니 g/f=1일 거라 넘겨짚는 실수. 실제 값은 1/3이라 (1−g/f)=2/3≠0이므로 발산한다. ‘차가 유한’을 g/f=1로 착각하지 마라.
실수 포인트 ② : ㄷ에서 f로 나누는 걸 잊고 ∞/∞ 꼴로 두는 실수. 분수꼴 극한은 분모·분자를 무한대량 f로 나눠라.
실수 포인트 ③ : 2×(1/3)=2/3 계산 후 (1+2/3)/(1−2/3)을 잘못 정리하는 실수. 분자 5/3, 분모 1/3, 나누면 5다.
정답 : ③ (ㄱ, ㄷ)