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절댓값 정적분은 부호 판정 문제로 번역하라. 조건 (가) ∫₀²|f|dx=−∫₀²f dx는 [0, 2]에서 f≤0이라는 뜻이고, (나) ∫₂³|f|dx=∫₂³f dx는 [2, 3]에서 f≥0이라는 뜻. 절댓값=원식 여부가 곧 부호다.
◀ |f|를 원식과 비교한 부호(−/+)가 이 문제의 열쇠
[0, 2]에서 f≤0, [2, 3]에서 f≥0이면 x=2에서 부호가 뒤집힌다. 이차함수가 부호를 바꾸는 지점은 근이므로 f(2)=0. 여기에 f(0)=0까지 더하면 두 근을 확보한 셈이다.
◀ 부호가 갈리는 경계점 = f=0인 근
f(0)=0, f(2)=0 두 근으로 f(x)=ax(x−2). [0, 2]에서 f≤0이려면 a>0. 조건 (가)의 ∫₀²f dx=−4/3·a=−4에서 a=3 → f(x)=3x²−6x. 따라서 f(5)=75−30=45.
◀ 이 문제의 출제 포인트
풀이영상
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해설
발상과 실수를 줄이는 노하우
발상의 출발점 : 절댓값 정적분과 원식 정적분의 등호 관계를 부호 판정으로 바꾸는 게 핵심이다. (가)는 [0, 2]에서 f≤0, (나)는 [2, 3]에서 f≥0 → 부호가 바뀌는 x=2가 근이므로 f(2)=0. f(0)=0과 합쳐 f(x)=ax(x−2)로 확정하고, 적분값 −4로 a를 결정한다.
실수 포인트 ① : ∫|f|=−∫f를 보고도 부호를 못 읽는 실수. 앞에 −가 붙는다는 건 원래 함수가 그 구간에서 음수(f≤0)라는 신호다.
실수 포인트 ② : f(2)=0을 놓쳐 근을 x=0 하나만 쓰는 실수. 부호 경계가 곧 근임을 잊으면 f의 식을 세울 수 없다.
실수 포인트 ③ : a의 부호를 놓치는 실수. [0, 2]에서 f≤0이 되려면 a>0(아래로 볼록)이어야 한다. a=3, f(x)=3x²−6x, f(5)=45.
정답 : ③ (45)